Differenzieren, offene Menge angeben

14.05.2015, 09:05

Eviana494

Differenzieren, offene Menge angeben

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich habe 4 Funktionen, deren Ableitung ich bestimmen muss sowie zudem die größte offene Menge angeben, damit die Funktion wohldefiniert ist.

In Orginal:
Geben Sie zu den nachfolgenden Funktionsvorschriften jeweils die größte offene Menge $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ noch eine wohldefinierte differenzierbare Funktionbeschreibt und bestimmen Sie anschließend die Ableitung $\begin{eqnarray*} f': D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) f(z) := 3 \frac{z^2-5}{z^3-2z+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) f(z) := (3z^6+4z) z^{\frac14} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) f(z) := 3 \frac{1-\sqrt{z}}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) f(z) := z \sin (z) +z^3 \cosh (z) + \pi \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also erstmal zur größten offenen Menge damit die Funktion wohldefiniert ist.

Bei a) darf der Nenner nicht Null werden. D.h. $\begin{eqnarray*} z^3-2z+1 \neq 0 \end{eqnarray*}$ Dann erhalte ich ja mit Polynomdivision schon mal, dass -1 und 1 nicht erlaubt ist, da dann der Nenner Null wird und mit PQ-Formel erhalte ich mit $\begin{eqnarray*} z^2+z-1 \end{eqnarray*}$ die weiteren Problemstellen bei:
$\begin{eqnarray*} z_{3,4} = -\frac12 \pm \sqrt{\frac54} \end{eqnarray*}$ . Man könnte jetzt noch die Wurzel aus 4 ziehen, aber das jetzt erstmal dahingestellt.
Dann ist die größte offene Menge doch $\begin{eqnarray*} D = \lbrace z \in \mathbb C | z \neq 1 \wedge z \neq -1 \wedge z \neq -\frac12 \pm \sqrt{\frac54} \rbrace \end{eqnarray*}$

Bzw. in der bisschen eleganteren Version dann: $\begin{eqnarray*} D = \mathbb C \setminus \lbrace -1, 1, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}, \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\rbrace \end{eqnarray*}$

Bei b) darf man doch alle Zahlen einsetzen, also ist die größte offene Menge ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Bei c) ist es dann $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ .

Bei d) müsste man sich die Definitionen anschauen, da ja die Funktionen im Komplexen anders sind.

$\begin{eqnarray*} \sin (z) = \frac{j e^{-jz}-j e^{jz}}{2} \end{eqnarray*}$ . Da kann man alles einsetzen also macht es keine Probleme.

$\begin{eqnarray*} \cosh (z) = \frac{e^{-z}+e^{z}}{2} \end{eqnarray*}$ also darf man auch alles einsetzen somit ist

$\begin{eqnarray*} D = \mathbb C \end{eqnarray*}$

Ich hoffe meine Überlegungen stimmen soweit?

Ich leite dann einfach mal ab:

Bei a) mit Quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{6z \cdot (z^3-2z+1) - (3z^2-2)*(3z^2-15)}{(z^3-2z+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{6z^4 -12z^2+6z - 9z^4 + 45z^2 +6z^2 -30}{(z^3-2z+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{-3z^4 +39z^2+6z -30}{(z^3-2z+1)^2} \end{eqnarray*}$

Irgendwie bin ich mir da unsicher? Ist das richtig?

Kann ich das ausmultiplizieren und dann einfach ableiten? Oder muss ich Produktregel verwenden?

Weil es ist ja: $\begin{eqnarray*} (3z^6+4z) z^{\frac14} = 3 z^{6+\frac14} + 4z^{1+\frac14} = 3z^{\frac{25}{4}} + 4z^{\frac54} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} (3z^{\frac{25}{4}} + 4z^{\frac54})' = \frac{75}{4} e^{\frac{21}{4}} + 5e^{\frac14} \end{eqnarray*}$

Das müsste stimmen?

c) mit Quotientenregel: $\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{-\frac32 z^{-\frac12} \cdot z - (3-3z^{\frac12})}{z^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(z) = \frac{-\frac32 z^{\frac12} - 3 +3z^{\frac12})}{z^2} = \frac{\frac32 z^{\frac12} - 3 }{z^2} \end{eqnarray*}$

Man könnte es noch zusammenfassen, aber so ist es doch richtig?

d) Jeweils mit Produktregel:
$\begin{eqnarray*} (z \sin (z) )' = \sin(z) + z \cdot \cos (z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z^3 \cosh (z) + \pi)' = 3z^2 \cosh (z) + z^3 \cdot (\sinh (z)) \end{eqnarray*}$

Aus der Summe erhalte ich die gesamte Ableitung:

$\begin{eqnarray*} d) f'(z) := \sin(z) + z \cdot \cos (z) + 3z^2 \cosh (z) + z^3 \cdot (\sinh (z)) \end{eqnarray*}$

Wieso ergibt eig $\begin{eqnarray*} \cosh (z) \end{eqnarray*}$ abgeleitet $\begin{eqnarray*} \sinh (z) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\sinh (z) \end{eqnarray*}$ ?

Von meiner Seite wär's das für's erste ich hoffe ich habe keinen Bock gemacht, wäre wirklich froh wenn mir jemand dies und jenes erklären könnte, dafür danke ich von Herzen!

Grüße

Evi

14.05.2015, 19:47

Leopold

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RE: Differenzieren, offene Menge angeben
a)
Ein Polynom vom Grad 3 hat höchstens 3 Nullstellen. Da müßte dir etwas auffallen:

Zitat:

Original von Eviana494
Dann ist die größte offene Menge doch $\begin{eqnarray*} D = \lbrace z \in \mathbb C | z \neq 1 \wedge z \neq -1 \wedge z \neq -\frac12 \pm \sqrt{\frac54} \rbrace \end{eqnarray*}$

b)
Die vierte Wurzel ist nicht auf ganz $\begin{align*} \mathbb{C} \end{align*}$ als holomorphe Funktion definierbar, nicht einmal als stetige. Allerdings ist die Formulierung der Aufgabe ungenau. Es müßte heißen: "Geben Sie ... eine größte offene Menge $\begin{align*} D \subseteq \mathbb{C} \end{align*}$ an". Lies noch einmal nach, wie das mit den Zweigen von Wurzelfunktionen ist.

c)
Ähnlich wie b).

d)
Hier stimmt die Definitionsmenge.

Weiter habe ich deinen Beitrag nicht überprüft.

15.05.2015, 07:47

Eviana494

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RE: Differenzieren, offene Menge angeben

Zitat:

Original von Leopold
a)
Ein Polynom vom Grad 3 hat höchstens 3 Nullstellen. Da müßte dir etwas auffallen:

Ja schon, ich habe es jetzt nochmal nachgerechnet, aber ich bekomme das identische Ergebnis unglücklich

b)
Ich habe mir jetzt einige Sachen durchgelesen, aber ich ziehe nirgends konkret die Wurzel. In der Vorlesung fiel auch nicht das Wort holomorph.

Wie soll ich das jetzt angehen, was genau ist da falsch? Die Potenzregeln gelten doch?

Du sagtest die vierte Wurzel ist nicht auf den ganzen komplexen Zahlen als holomorphe Funktion definierbar, auch nicht einmal als stetige.

Dann geht's gar nicht?

Zitat:

Original von Eviana494
Und $\begin{eqnarray*} (3z^{\frac{25}{4}} + 4z^{\frac54})' = \frac{75}{4} z^{\frac{21}{4}} + 5z^{\frac14} \end{eqnarray*}$

Ich meinte natürlich im ersten Beitrag es so wie ich es jetzt im Zitat korrigiert habe.

Zitat:

Original von Eviana494
Wieso ergibt eig $\begin{eqnarray*} \cosh (z) \end{eqnarray*}$ abgeleitet $\begin{eqnarray*} \sinh (z) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} -\sinh (z) \end{eqnarray*}$ ?

Die Frage bleibt bestehen unglücklich

Grüße

Evi

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