Standardskalarprodukt

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14.05.2015, 10:07

Mathekollege

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Standardskalarprodukt

Meine Frage:
Hallo smile

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und habe keine Idee, wie ich das angehen soll unglücklich

Seien $\begin{eqnarray*} v_{1},...,v_{n} \in R^{d} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_{i}^{T}v_{i}=1. \end{eqnarray*}$

Man betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} W = \left\{ \sum\limits_{i=1}^{d} \lambda_{i}v_{i} : \lambda_{i} \in \left\{ -1,1 \right\},i=1,...,d \right\} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie: Es gibt $\begin{eqnarray*} v,w \in W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v^{T}v \leq d \leq w^{T}w \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe leider keinen Plan, wie ich das lösen soll unglücklich

$\begin{eqnarray*} v^{T}v \end{eqnarray*}$ ist ja eins, aber wie kann ich zeigen, dass es ein w gibt, dass größer gleich d ist?

Latex korrigiert und Folgebeiträge entfernt. Tipp: Vor dem Absenden einmal auf Vorschau klicken Augenzwinkern

(Guppi12)

14.05.2015, 15:32

RavenOnJ

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RE: Standardskalarprodukt

Zitat:

Original von Mathekollege
$\begin{eqnarray*} v^{T}v \end{eqnarray*}$ ist ja eins, ...

Das ist nicht richtig. Es ist nur $\begin{align*} v_i^{T}v_i=1 \end{align*}$ . Aber $\begin{align*} v^{T}v=\sum\limits_{i=1}^d\sum\limits_{k=1}^d\lambda_i\lambda_k v_i^T v_k \end{align*}$ und das muss nicht unbedingt 1 sein.

14.05.2015, 16:05

Mathekollege

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Danke für das Formatieren und den ersten Denkanstoß.

Dann habe ich jetzt ja folgenden Ausdruck da stehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{d} \sum\limits_{k=1}^{d} \lambda_{i} \lambda_{k} v_{i}^{T} v_{k} \leq d \leq \sum\limits_{i=1}^{d} \sum\limits_{k=1}^{d} \lambda_{i} \lambda_{k} w_{i}^{T} w_{k} \end{eqnarray*}$

leider habe ich absolut keine idee, wie ich das weiter abschätzen oder umformen soll, um zu zeigen, dass das gilt unglücklich

14.05.2015, 16:16

Elvis

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rechts steht nicht $\begin{eqnarray*} ...w_i^Tw_k \end{eqnarray*}$ , sondern auch $\begin{eqnarray*} ...v_i^Tv_k \end{eqnarray*}$ , und das zeigt, dass es nur um Variation der $\begin{eqnarray*} \lambda_i\lambda_k \end{eqnarray*}$ geht.

14.05.2015, 16:20

RavenOnJ

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Ich sag dir gleich, dass ich die Lösung noch nicht kenne. Aber vielleicht hilft es, den Part $\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^d\lambda_i^2v_i^T v_i=d \end{align*}$ von den Summen abzuspalten. Es bleiben dann nur die gemischten Skalarprodukte übrig. Bei $\begin{align*} v \end{align*}$ muss deren Summe $\begin{align*} \le 0 \end{align*}$ sein, bei $\begin{align*} w \end{align*}$ hingegen $\begin{align*} \ge 0 \end{align*}$ .

@Elvis Das mit den w_i hatte ich vollkommen übersehen. Augenzwinkern

14.05.2015, 16:46

RavenOnJ

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Noch ein Tipp: Was passiert, wenn man für ein i das $\begin{align*} \lambda_i \end{align*}$ zu $\begin{align*} -\lambda_i \end{align*}$ macht?

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