Sinus als Vektornorm

14.05.2015, 14:42	Legoknochenpirat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus als Vektornorm Meine Frage: Es gilt: $\begin{eqnarray} (\sin(\alpha ))^{2} = 1 - (\cos(\alpha))^{2} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ der Winkelz zwischen den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ ist. Zu zeigen $\begin{eqnarray} \| \sin(\alpha) \| = min_{\lambda\in R} \frac{\|\|x - \lambda y\|\|}{\|\|x\|\|} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hab versucht die Gleichung von beiden Seiten anzugehen. Komm aber nicht auf die Lösung. Ich versteh auch nicht, wieso das minimum erforderlich ist. Von vorne: $\begin{eqnarray} \| \sin(\alpha) \|^{2} = \|1 - \cos(\alpha)^{2}\| = \frac{<x,x><y,y> - <x,y>^{2}}{\|\|x\|\|^{2}\|\|y\|\|^{2}} \end{eqnarray}$ Von hinten: $\begin{eqnarray} (min_{\lambda\in R} \frac{\|\|x - \lambda y\|\|}{\|\|x\|\|})^{2} = <br /> min_{\lambda\in R} \frac{\lambda^{2}<y,y> + <x,x>-2 \lambda <x,y>}{\|\|x\|\|^{2}} = \\ min_{\lambda\in R} ( 1-\frac{-\lambda^{2}<y,y> +2 \lambda <x,y>}{\|\|x\|\|^{2}} ) \end{eqnarray}$ Aber weiter komm ich nicht... für tipps wäre ich sehr dankbar
14.05.2015, 15:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sinus als Vektornorm Es ist $\begin{eqnarray} \min_{\lambda\in \mathbb R} ( 1-\frac{-\lambda^{2}<y,y> +2 \lambda <x,y>}{\|\|x\|\|^{2}} ) = 1- \max_{\lambda\in \mathbb R} \frac{-\lambda^{2}<y,y> +2 \lambda <x,y>}{\|\|x\|\|^{2}} \end{eqnarray}$ . Nun ist es leicht das Maximum bzw. Maximierer $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ einer Funktion $\begin{eqnarray} f(\lambda) = - \alpha \lambda^2 + \beta \lambda \end{eqnarray}$ explizit zu bestimmen. Das eingesetzt müsste dann die gesuchte Identität ergeben.
14.05.2015, 15:48	Legoknochenpirat	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke

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