Ungleichung, Lösung mit Hilfe des binom. Lehrsatz

14.05.2015, 20:04	ESahrhage	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung, Lösung mit Hilfe des binom. Lehrsatz Hallo, die Aufgabe ist: Man zeige, dass $\begin{eqnarray} \left( 1+\dfrac {1}{n}\right) ^{n} < 3 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt. Mein Ansatz ist: $\begin{eqnarray} \left( 1+\dfrac {1}{n}\right) ^{n}=\sum ^{n}_{k=0}\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot \left( \dfrac {1}{n}\right) ^{k}=\sum ^{n}_{k=0}\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot \left( \dfrac {1}{n^{k}}\right) \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass man später noch mit der geometrischen Reihe [attach]38064[/attach] weitermachen kann. Nur die Zwischenschritte erschließen sich mir nicht, also wie ich geschickt abschätze, um auf ein verwertbares Ergebnis zu kommen. Hat jemand eine Idee?
14.05.2015, 20:43	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man könnte z.B. mit $\begin{eqnarray} \binom { n }{k } n^k \leq \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ abschätzen. Und du hast die geom. Summenformel hingeschrieben. Du brauchst hier, wenn überhaupt, die Reihenformel.

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