Funktion bilden, die auf der ganzen reellen Achse stetig ist

Neue Frage »

Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion bilden, die auf der ganzen reellen Achse stetig ist
Hallo,

da ich mich nun endlich angemeldet habe, dachte ich mir, dass ich direkt eine zweite Frage ins Forum stelle. Big Laugh

Ich hocke vor folgender Aufgabe und habe natürlich keine Idee, wie diese Funktionieren soll.

Die Funktionen und seien gegeben durch bzw. durch . Können Sie bzw. finden, sodass durch die Festlegung f(1)=a bzw. g(1)=b eine auf der ganzen reellen Achse stetige Funktion entsteht?

Meine Ideen:

Im Augenblick tue ich mich schwer damit die Aufgabe zu verstehen. Was genau ist überhaupt mit a und b gemeint?
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

a und b wären hier Y-Werte, die bei dem festgelegtem x=1 die Funktion stetig werden lassen. Also ,,die Lücke füllen".

Bei g(x) ist dies noch möglich durch vereinfach der Funktion, bei f(x) sieht das anders aus...
 
 
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir die Funktionen mal zeichnen lassen um das besser zu verstehen. f(x) ist doch sowas wie eine Hyperbelfunktion,oder? g(x) sieht mir linear aus!? Ist die dann nicht sowieso stetig?
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) ist eine gebrochenrationale Funktion, ob Hyperbelfunktion oder nicht spielt hier keine Rolle.

g(x) ist nicht stetig. Wenn du für x eins einsetzt, würde im Nenner eine 0 stehen. Das geht nicht. Somit ist sie nicht stetig, da sie ein ,,Loch" hat in dem sie nicht definiert ist.

Dass g(x) linear aussieht kommt daher, dass sich g(x) so vereinfachen ist, dass g(x) sowohl linear als auch stetig wird. Zunächst solltest du die Nullstellen bestimmen um den Zähler als schreiben zu können, wobei und die Nullstellen von g(x) sind.. Also zunächst den Zähler vereinfachen. Danach kannst du kürzen und hast eine stetige und lineare Funktion. Wenn du das gemacht hast, kommen wir zu f Augenzwinkern
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das werde ich morgen früh dann in Angriff nehmen smile
Ich verstehe aber noch nicht wofür man das braucht und wieso man das so lösen kann, wie du es mir vorgeschlagen hast !? verwirrt verwirrt verwirrt
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso man das braucht? Nunja, wenn du den Zähler so vereinfacht hast (Linearfaktorzerlegung heißt es), dann kann man so manche Funktion noch vereinfachen, sodass aus einer Funktion mit Lücke, eine ohne Lücke wird smile Durch die Vereinfachung des ganzen fällt also das ,,Gebrochen" in der gebrochenrationalen Funktion weg und es entsteht eine ganzrationale Funktion, die kein Problem mit dem teilen durch 0 hat. Augenzwinkern

Wieso man es so lösen kann? Weil in der Funktion, die man erhält, nicht mehr durch 0 geteilt wird bei x=1. Teilen durch 0 ist unzulässig, weswegen hier weder in g(x) noch in f(x) eins für x eingesetzt werden darf.
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe deine Ratschläge befolgt und habe bis jetzt diese Ergebnisse:

Nullstellen: 1 und -5

Dann habe ich das als Linearfaktoren aufgeschrieben:

g(x)=(x-1)(x+5) <=> g(x)=x²+4x-5

Jetzt darf man auch wieder für x problemlos 1 einsetzen,ohne das man durch 0 teilen würde. Aber was genau passiert denn nun mit dem Nenner? Der verschwindet doch nicht einfach so?!

Stimmt das bis hier?

Ich habe mir nun auch nochmal f(x) angeguckt und man könnte den Zähler doch auch problem als Linearfaktoren schreiben?!
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, sowohl im Nenner als auch im Zähler (mit eingesetzten Linearfaktoren anstelle der quadratischen Normalform) steht der Faktor (x-1) den kann man Kürzen, sodas man erhält. Etwas geteilt durch eins ist natürlich, das selbe wie ohne das Geteilt. Daher erhält du als stetige Funktion h(x)=x+5. h(1)=6 Und damit hast du ein a, dass die ,,Lücke" füllt.

So, wie ist das mit f(x), kannst du da kürzen? Die Linearfaktoren hast du ja schon...
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Bei f(x) kann man immerhin einmal den Nenner wegkürzen. Dennoch sieht f(x) dann so aus: f(x)= (x+5)/(x-1)
Offensichtlich funktioniert x=1 immer noch nicht. Ist das schon die Lösung oder kann man f(x) noch anders "bearbeiten" ,sodass x=1 problemlos funktionieren würde?
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »



So hier habe ich die Funktion mal geplottet. Habt ihr Grenzwerte behandelt? Dann kann man über den links-/rechtsseitigen Grenzwert nachweisen, dass es für f(x) keine Möglichkeit gibt, dass die Funtkion stetig wird...
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwerte haben wir gemacht. Aber linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert sagt mir leider nicht so viel
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist recht einfach:

Es macht einen Unterschied ob du von rechts oder von links an einen Grenzwert hinan gehst.

Versuch es mal hier:

Wie sieht es aus, wenn du dich von x<1 dem Wert x=1 näherst und wie, wenn du dich von x>1 dem Wert x=1 näherst? Versuch es mal. Ganz informell, dann erkläre ich dir die Schreibweise....
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

für x<1 kommt man aus dem Bereich - unendlich und nähert sich asymptotisch dem Wert x=1 an ,ohne ihn tatsächlich anzunehmen. für x>1 gilt genau das gleich, nur das man sich aus dem Bereich + unendlich nähert. So würde ich das sagen. verwirrt
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Was auch goldrichtig ist!

Man spricht da von Stetigkeit oder wie in deiner Aufgabe verlangt von stetiger Ergänzbarkeit. Das heißt, dass eine Funktion stetig ergänzt werden kann, wenn der beidseitige Grenzwert existiert und dafür überprüft man sowohl den linksseitigen Grenzwert () also auch den rechtsseitigen Grenzwert (). Existieren beide Grenzwerte und sind einander gleich, so ist die Funktion ergänzbar Stetig, es gibt also wie bei g(x) eine behebare Lücke smile

Wie sieht es hier aus? Stetig oder nicht stetig? Existieren die Grenzwerte? Sind sie einander gleich? Was folgt daraus?
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht stetig, weil die Grenzwerte nicht gleich sind und daher besteht auch keine Möglichkeit die Unstetigkeitsstelle x=1 "auszubessern"
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann man so stehen lassen. Wenn du das in der obigen Schreibweise der Grenzwerte mit deren Ungleichheit begründest, kann kann dir nix mehr passieren smile
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe! Gott
Rbn Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts zu danken smile

Eine Anmerkung noch: Bei g(x), wo wir so schön kürzen konnten, weil wir die Linearfaktoren bestimmt haben: Das mit den Linearfaktoren ist manchmal komplizierter, da kannst du auch eine Polynomdivision durchführen (Zähler durch Nenner) um die Funktion zu vereinfachen, wenn es denn eine hebbare Lücke ist smile Sage das erst jetzt, weil es in dem Fall viel umständlicher wäre und ich dich nicht verwirren will smile Lehrer
Kartoffelmann Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, alles klar. Die Polynomdivision ist mir nicht fremd, auch wenn meine Schulzeit schon ein paar Jahre zurückliegt Big Laugh
Ich werde es mir hinter die Ohren schreiben Big Laugh
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »