Verteilungsfunktion mit Parameter

14.05.2015, 21:28

S&R

Verteilungsfunktion mit Parameter

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe eine Aufgabe zu berechnen bei der ich nicht weiter komme...
"Für welche reellen Parameter ist $\begin{eqnarray*} e^{-e^{-(x-a)}} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine verteilungsfunktion? Berechnen sie in diesen Fällen die Dichte und den Mittelwert dieser Verteilungen!"

Meine Ideen:
Ich weiß, dass 0< F(x) <1 gilt und F(-unendlich)=0 und F(+unendlich )=1 ist. Habe nun versucht x gegen -/+unendlich gehen zu lassen aber ich bekomme keine Parameter raus. Zumal die Funktion meiner Meinung nach nicht 1 sein kann oder? Ich denk die dichte bekomm ich hin wenn ich die verteilungsfunktion hab.
Kann mir da jmd weiter helfen?
Vielen Dank schonmal! LG

14.05.2015, 21:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von S&R
Ich denk die dichte bekomm ich hin wenn ich die verteilungsfunktion hab.

Wenn du die VF "hast" ??? Aber sie steht doch schon da! Natürlich musst du noch nachweisen, dass $\begin{align*} x\mapsto e^{-e^{-(x-a)}} \end{align*}$ die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion erfüllt, als da wären

$\begin{align*} \lim_{x\to -\infty} F(x)=0,\qquad \lim_{x\to \infty} F(x)=1 \end{align*}$

und "dazwischen" Monotonie von $\begin{align*} F \end{align*}$ . Eigentlich auch noch Rechtsstetigkeit, wozu aber (die hier vorhandene) Stetigkeit hinreichend ist.

14.05.2015, 21:49

S&R

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Ich Soll doch lt Aufgabe reelle Parameter angeben für die das ganze eine verteilungsfunktion ist!?

15.05.2015, 08:02

HAL 9000

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Ja, richtig - und das ist hier für alle (!) $\begin{align*} a\in\mathbb{R} \end{align*}$ der Fall!

Ist eigentlich fast ohne jede Rechnung zu sehen, dass es entweder für alle oder für gar kein $\begin{align*} a\in\mathbb{R} \end{align*}$ eine Verteilungsfunktion ist: Denn ist $\begin{align*} F(x) \end{align*}$ die VF einer Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} F(x-a) \end{align*}$ die VF von $\begin{align*} X+a \end{align*}$ .

15.05.2015, 09:28

S&R

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D.h.ich gebe die Dichte und den Mittelwert in Abhängigkeit von a an? Wie mache ich das denn beim Mittelwert?

15.05.2015, 09:46

HAL 9000

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Ja wie immer bei stetigen Zufallsgrößen: Der Erwartungswert ist

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) ~ \dd x \end{align*}$

wobei $\begin{align*} f(x)=F'(x) \end{align*}$ die Dichte zu deiner Verteilungsfunktion $\begin{align*} F(x)=\exp(-\exp(-(x-a))) \end{align*}$ ist. Da dieses Integral im vorliegenden Fall etwas knifflig ist, hier noch der Hinweis: Schau mal bei der Euler-Mascheroni-Konstante vorbei. Augenzwinkern

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