Exponentialreihe mit negativen Werten

15.05.2015, 15:11	maths12345	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialreihe mit negativen Werten Hallo liebe Community, wenn ich z. B. den Wert für exp(-10) mit der Exponentialreihe(ohne Taschenrechner) berechnen möchte, müsste ein Wert raußkommen, welcher gerade noch größer als 0 ist. Irgendwie komme ich aber nicht drauf bzw. steh wohl gerade auf dem Schlauch bei der Berechnung der einzelnen Glieder. Ich habe wie folgt gerechnet: unendlich Summe ((-10) hoch k) / k! k = 0 Damit komme ich auf folgende Glieder: 1, -10, 50, -166 2/3, +416 2/3, -833 1/3, 1388 8/9, -1984 8/63 Wenn ich diese nun aufsummiere, sollte doch eigentlich ein Wert raußkommen der irgendwann gerade noch größer 0 ist. Mit meinen errechneten Gliedern ist dies nicht der Fall. Kann mir jemand sagen, wo ich mich verrechnet habe oder woran das liegt?
15.05.2015, 15:55	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast einfach viel zu wenige Glieder berechnet. Selbst bei den ersten 20 Gliedern bist du noch nicht in der Nähe des wirklichen Werts. Je größer $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ betragsmäßig ist, desto länger braucht die Exponentialreihe, um in die richtige Größenordnung zu kommen. Hier ein paar Werte: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{15} \frac{(-10)^k}{k!} \approx -300 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{20} \frac{(-10)^k}{k!} \approx 13 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{22} \frac{(-10)^k}{k!} \approx 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{25} \frac{(-10)^k}{k!} \approx -0.3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{30} \frac{(-10)^k}{k!} \approx 10^{-3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{35} \frac{(-10)^k}{k!} \approx 4.3\cdot 10^{-5} \end{eqnarray}$ . Selbt die letzte Approximation weist noch einen Fehler von etwa 5% auf, die davor hat sogar noch einen Fehler von 2000%, ist also nicht zu gebrauchen. Du siehst, da muss man schon einiges an Summanden bestimmen Edit: Um den Wert tatsächlich zu bestimmen, ist die Methode von mythos natürlich beser.
15.05.2015, 15:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich konvergiert das Ding so nicht oder sehr langsam. Rechne statt dessen mit $\begin{eqnarray} \frac 1 {exp(10)} \end{eqnarray}$ mY+
15.05.2015, 16:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du eine Reihe betrachtest, reicht es nicht aus, nur endlich viele Glieder zu betrachten. Der Fehler ist in deinem Beispiel einfach zu groß, um nach 10 Partialsummen abzubrechen. Erst ab k=27 sind die einzelnen Summanden betragsmäßig kleiner als 1, so dass sich das Grenzverhalten vermuten lässt. Besser ist da der von Mythos vorgeschlagene Weg.
15.05.2015, 16:10	Maths12345	Auf diesen Beitrag antworten »
super, vielen Dank!
15.05.2015, 18:10	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
hier wütet die numerische Auslöschung durch Differenzenbildung. Je nach Exponent kann auch numerisch nix Vernünftiges rauskommen.
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