Frage zum Elementarteilersatz

15.05.2015, 15:57

r4ndom19

Frage zum Elementarteilersatz

Hallo,

ich habe eine Frage zum Elementarteilersatz. Wir haben diesen in folgender Form kennen gelernt:

Sei V ein endlich erzeugter freier R-Modul, wobei R ein Hauptidealring ist. Und $\begin{eqnarray*} M \subset V \end{eqnarray*}$ sei ein Untermodul vom Rang m. Es existeiren $\begin{eqnarray*} v_1, ..., v_m \in V \end{eqnarray*}$ die zu einer Basis in V gehören und $\begin{eqnarray*} e_1,...,e_m \in R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} e_1*v_1,..e_m*v_m \end{eqnarray*}$ bilden Basis von M und $\begin{eqnarray*} e_i|e_{i+1} \forall i \end{eqnarray*}$
Die e_i werden Elementarteiler genannt und sind unabhängig von den v1,...,vm
Ferner sind die e_i bis auf Assozierte eindeutig.

Ich bin mir nun nicht sicher, es heißt es existieren Elemente die zu einer Basis gehören. Bedeutet es, dass man aus einer gewissen Basis einige Elemente auswählen kann? Oder ist es so gemeint, dass man aus jeder Basis gewisse Elemente wählen kann. (Dafür würde der letzte Satz sprechen "..unabhängig von den v1,..,vm..."

Mir würde es sehr helfen wenn ich bei einem Beweis bzg. des V^m der Einfachkeithalber die Einheitsvektoren als Basis wähle.

16.05.2015, 10:06

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zum Elementarteilersatz
Der Satz sollte so verstanden werden, dass aus einer bestimmten Basis solche Elemente ausgewählt werden können. Mit beliebigen Basen funktioniert das leider i.A. nicht. Du kannst die entsprechende Basis aber konstruieren: Wenn $\begin{eqnarray*} \underline w \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \underline u \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , dann sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Transformationsmatrix, sprich $\begin{eqnarray*} \underline u=\underline w A \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mittels $\begin{eqnarray*} PAQ=B \end{eqnarray*}$ auf Smith-Normalform bringst, dann ist $\begin{eqnarray*} \underline wP^{-1} \end{eqnarray*}$ die Basis mit den gesuchten Eigenschaften

Lg
kgV
Wink

16.05.2015, 10:40

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zum Elementarteilersatz
Ah, ich habe dies bereits befürchtet. Weißt du evtl. auch wie es dann gemeint ist, dass die Elementartieler unabhängig von v1,..,vm sind? Diese Eigenschaft scheint mir etwas unsinnig wenn die Basis sowieso festgelegt ist unglücklich

16.05.2015, 18:09

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist gemeint, dass die $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ nicht von der Basis herkommen. Konkret meint das, dass die Basis $\begin{eqnarray*} \underline{v} \end{eqnarray*}$ nicht in die Berechnung der $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ eingeht. Die kommen (über die Transformationsmatrix) nur von der Ausgangsbasis $\begin{eqnarray*} \underline w \end{eqnarray*}$ her (damit hängen sie dann logischerweise auch mit dem Untermodul $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zusammen, was iwo einleuchtend sein sollte Augenzwinkern

)

17.05.2015, 10:07

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, das ist wirklich vertrackt. Die Smith-Normalform kenne ich nicht. Ich habe mich dazu belesen und da wir dazu noch nichts haben wäre jede Verwendung dieser aufwändig.

Vielleicht weißt du etwas zu folgendem, das wäre echt super! smile

Es geht darum die Determinante von (e1*v1,...,en*vn) auszurechnen. Die Elementarteiler kann man ja Problemlos vor die Determinante ziehen, es geht also noch um die Basis des R^n. (Die Einheitsbasis wäre mir hier eben gelegen gekommen.)
Idealerweiße wäre diese Determinante 1 bzw. eine Einheit. (Dann wäre die Determinante ein Produkt von Elementarteilern, die ja nur bis auf Assoziierte eindeutig sind)

Ich habe eine Basis des $\begin{eqnarray*} R^{n} \text{ sei } v_1,..,v_n \text{ diese Basis} \end{eqnarray*}$
Ist es nun möglich zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} det(v_1,..,v_n) \in R^{x} \end{eqnarray*}$ (also dass die Determinante eine Einheit ist.

Wenn man eine Vektorraumbasis hätte, wäre das natürlich klar (weil in Körper alle Elemente außer der Null Einheiten sind).

Da v1,..,vn den R^n erzeugen könnte man auch die Einheitsvektoren erzeugen, das Problem ist aber, dass dies nicht nur durch elementare Spalten/Zeilenoperationen möglich ist. Es kann passieren, dass man eine Spalte mit einem Element aus R multiplizieren muss, dies ist nun das Problem. Kann man diesen Fall ausschließen?

17.05.2015, 10:41

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Dem sollte sich beikommen lassen Augenzwinkern

Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Wenn man diese in eine Matrix schreibt, dann ist sie invertierbar. Jetzt geht es also nur noch darum, zu zeigen, dass die Determinante einer invertierbaren Matrix eine Einheit ist.

Setze dazu $\begin{eqnarray*} \det(A\cdot A^{-1})=1 \end{eqnarray*}$ ein smile

Was kannst du jetzt mit der Determinante machen?

17.05.2015, 10:45

r4ndom19

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kgV
Dem sollte sich beikommen lassen Augenzwinkern

Was kannst du jetzt mit der Determinante machen?

Ah natürlich auseinanderziehen! Also $\begin{eqnarray*} det(A*A^{-1})=det(A)*det(A^{-1})=1 \end{eqnarray*}$ Also sind die Determinanten Einheiten!

Das Funktion ja im Matrizenring auch noch, das vergas ich völlig! Vielen Dank, das hat mich Stunden gekostet und die Lösung liegt doch so nahe!

17.05.2015, 11:07

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen smile

Neue Frage »

Antworten »

Frage zum Elementarteilersatz

Verwandte Themen