Taylorreihe entwickeln

15.05.2015, 17:35

Tempi

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Taylorreihe entwickeln

Hi, es geht um folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich soll die Funktion in eine Taylorreihe um $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ entwickeln und mindestens 5 nicht verschwindende Glieder angeben.

Als Zeitvorgabe für die Aufgabe sind nur wenige Minuten vorgesehen. Mir scheint es so, als würde es äußerst lange dauern hiervon mindestens 5 Ableitungen auszurechnen.

Sieht irgendjemand eine Vereinfachung die ich nicht sehe?

15.05.2015, 17:40

Guppi12

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Hallo,

du kannst die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion verwenden, $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abziehen und durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen. Damit bekommst du sofort so viele Glieder wie du willst.

15.05.2015, 17:58

Tempi

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Okay nach kurzer Suche weiß ich jetzt, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{x^k}{k!} =e^x \end{eqnarray*}$ und davon die Taylorreihe $\begin{eqnarray*} 1+x+{{x^2}\over{2}}+{{x^3}\over{6}}+{{x^4}\over{24}}+{{x^5}\over{ 120}}+\cdots \end{eqnarray*}$ ist.

Nur wie füge ich das jetzt in meine Aufgabe ein?

15.05.2015, 19:38

Guppi12

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Naja, da musst du jetzt statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ am Anfang abziehen und durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2015, 20:10

Tempi

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(2x)^k-1}{k!x} =\frac{e^x-1}{x} \end{eqnarray*}$

So jetzt hab ich für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ eingesetzen, $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgezogen und noch durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geteilt.

Mein Gefühl sagt mir das ist falsch? verwirrt

verwirrt

15.05.2015, 20:21

Guppi12

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Ja, das ist falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zuerst mal das mit dem $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abziehen richtig. Welches ist denn der $\begin{eqnarray*} 0. \end{eqnarray*}$ Summand von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{(2x)^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ?

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15.05.2015, 20:28

Tempi

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Der 0. Summand ist 1

15.05.2015, 20:32

Guppi12

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Also kannst du ihn weglassen und das $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abziehen, hat sich erledigt.

Du hast dann ja $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 2^k\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du das jetzt durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen?

15.05.2015, 20:36

Tempi

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Ich schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\sum_{k=1}^\infty 2^k\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ?
Von den übrigen Summanden muss doch dann auch noch $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgezogen werden?

15.05.2015, 20:38

Guppi12

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Wenn du eine endliche Summe hast, beispielsweise $\begin{eqnarray*} 1+2+3+4 \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abziehst, kommt dann $\begin{eqnarray*} 2+3+4 \end{eqnarray*}$ heraus oder $\begin{eqnarray*} (1-1)+(2-1)+(3-1)+(4-1) \end{eqnarray*}$ ?

Kannst du da nicht das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wegkürzen?

15.05.2015, 20:42

Tempi

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Achso, dann natürlich ersteres.

Um das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wegzukürzen könnte ich auch $\begin{eqnarray*} x^{k-1} \end{eqnarray*}$ schreiben oder?

15.05.2015, 20:44

Guppi12

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Siehst du, dass es bei der Reihe genau das gleiche ist, wie bei der endlichen Summe?

Zitat:

Um das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wegzukürzen könnte ich auch $\begin{eqnarray*} x^{k-1} \end{eqnarray*}$ schreiben oder?

Ja genau. Jetzt noch eine Indexverschiebung und du hast die Taylorreihe deiner Funktion.

15.05.2015, 20:57

Tempi

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Aber da steht ja nicht nur $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (2x)^k \end{eqnarray*}$ . Wie kürz ich denn dann das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weg?

15.05.2015, 20:59

Guppi12

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Zitat:

Original von Tempi
Ich schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\sum_{k=1}^\infty 2^k\frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ ?

Wo steht da $\begin{eqnarray*} (2x)^k \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2015, 21:11

Tempi

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Achso wir haben $\begin{eqnarray*} (2x)^k \end{eqnarray*}$ ja in $\begin{eqnarray*} 2^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ aufgespalten.

Okay dann habe ich es verstanden. Die Taylorreihe ist dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\textcolor{red}{\textbf{n}}=0}^{\infty } \frac{2^{n+1} }{(n+1)!} x^n \end{eqnarray*}$

Dankeschön Freude

Freude

15.05.2015, 21:20

Guppi12

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Korrekt, nur der Index sollte $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ heißen.

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