Taylorpolynom ln(x+1) und Restglied in Lagrange-Form

15.05.2015, 23:04	InfoPhysics	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom ln(x+1) und Restglied in Lagrange-Form Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe eine Frage zur Restgliedabschätzung. Hier die Aufgabe: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} f: \left]-1,\infty\right[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to R \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} f(x) = ln(1+x) \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie das Taylorpolynom $\begin{eqnarray} T_{3} \end{eqnarray}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_{0} = 0 \end{eqnarray}$ und geben Sie das Restglied $\begin{eqnarray} R_{3} \end{eqnarray}$ in Lagrangeform an. Meine Ideen: Ich habe also das Taylorpolynom $\begin{eqnarray} T_{3} \end{eqnarray}$ berechnet: $\begin{eqnarray} T_{3}= x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \end{eqnarray}$ Das Restglied in Lagrangeform ergibt sich ja aus $\begin{eqnarray} R_{n}(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} \cdot (x-x_{0})^{n+1}<br /> \Rightarrow R_{3}(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \cdot (x-0)^{4} = - \frac{x^{4}}{4(\xi + 1)^{4}} \end{eqnarray}$ Hier ist auch schon meine erste Verständnisfrage. Das Restglied ist ja die Fehlerabschätzung und die kann ja eher nicht negativ sein. Deshalb müsste ich doch in diese Fall die Beträge nehmen. Liege ich damit richtig? Also: $\begin{eqnarray} \|R_{3}(x)\| = \|\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} \cdot (x-0)^{4}\| = \frac{x^{4}}{4(\xi + 1)^{4}} \end{eqnarray}$ Ich dachte eigentlich, ich hätte die Aufgabe damit gelöst, weil ich ja nun das Restglied in Lagrange-Form angegeben habe... aber der angegebene Intervall macht mich nervös, denn den habe ich ja bisher noch gar nicht gebraucht. Da ich mit dem Restglied ja den größtmöglichen Fehler ermitteln möchte, muss ich mir ja jetzt x und Xi angucken, weil R von beidem abhängt, richtig? Ich muss also für beide den höchsten Wert des Intervalls einsetzen. $\begin{eqnarray} x^{4} \end{eqnarray}$ wächst ja immer weiter für $\begin{eqnarray} x \textgreater 1 \end{eqnarray}$ , deshalb nehme ich hier doch $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ aus dem Intervall. $\begin{eqnarray} \frac{1}{4(\xi + 1)^{4}} \end{eqnarray}$ wird größer, je kleiner ich das Xi wähle, allerdings kann ich hier nicht das -1 aus dem Intervall nehmen, weil sonst ja der Nenner Null wird. Da $\begin{eqnarray} f: \left]-1,\infty\right[ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to R \end{eqnarray}$ bin ich mir auch gar nicht sicher, welche Zahl größer als -1 ich da nehmen soll. Kann man das nach Belieben festlegen? Und hier komme ich ins Straucheln. Ich weiß nicht so Recht, was ich hier einsetzen soll... und ob ich das überhaupt ausrechnen soll (siehe Aufgabestellung), wie ich dann weiter vorgehe usw. Kann mir da jemand weiterhelfen?
15.05.2015, 23:48	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) $\begin{eqnarray} T_3(x,0)=x-\tfrac12 x^2+\tfrac 13 x^3 - ... \end{eqnarray}$ 2.) Das Lagrange Restglied mit Betrag ist so in Ordnung. 3.) ein Polynom 3. Grades kann nicht den ln im Definitionsbereich annähern, besonders wenn eine "Polstelle" enthalten ist. Der Fehler muss über alle Grenzen anwachsen. Dasselbe gilt für x nach unendlich, ein Polynom muss nach unendlich, jedenfalls deutlich schneller wie der ln. Der maximale Fehler für den Definitionsbereich ist demnach Quark. ------------------------------ Hier ein sinniges Beispiel: für Zinseszinsrechnung braucht man den ln(1+p) für kleines p. Nehmen wir 0 < p < 0.05 an. Welcher Fehler ist maximal zu erwarten?

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