Merkwürdige Differentialgleichung

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Tempi Auf diesen Beitrag antworten »
Merkwürdige Differentialgleichung
Hi,
ich bin auf eine DGL gestoßen, die auf den ersten Eindruck etwas komisch für mich ausschaut.

Es geht um

Zu bestimmen ist die Lösung des Anfangswertproblems mit

Meine Ideen:
Einfach das Integral darüber legen geht nicht, weil man nicht einfach ein hizufügen kann. Durch Trennung der Veränderlichen bin ich auch nicht weitergekommen, zumal hier auch kein vorkommt.
Wer kann mir weiterhelfen?
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, x kommt nicht explizit vor. Das ist weniger ein Problem als ein Grund zur Freude. Big Laugh

Eigentlich sollte es sein.

Trennung der Veränderlichen ist schon der richtige Ansatz.

Klar, wieso?
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Ach okay, das leere Integral hatte mich verunsichert. Aber es ist ja gar nicht leer, sondern .

Dann schaut das ganze bei mir aber so aus:





Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Was konkret bedeutet dieser Smiley? Du hast doch das Ergebnis...
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, naja ich habe dann weiter nach aufgelöst:




Laut dem Anfangswertproblem soll ja für herauskommen, aber der geht doch nur von bis
 
 
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Der Sinus ist nicht invertierbar. Augenzwinkern
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm und wenn ich dann einfach gleich einsetze?




Die e-Funktion wird noch nie Null also geht das doch auch nicht? verwirrt
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Arcussinus liegst Du schon richtig. Aber ist eben nicht die einzige Lösung für , sondern eben auch und . Und von alle denen mußt Du diejenige auswählen, die mit der Anfangsbedingung verträglich ist.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Das versteh ich jetzt nicht ganz. Meinst du mit und die Ableitung?
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Sorry, die Bezeichnung war nicht gut durchdacht.

Du hattest doch schon . Nun folgt daraus nicht unbedingt, daß , sondern




usw. wären auch möglich.
(zeichne Dir doch mal eine Sinuskurve. Es gibt immer unendlich viele Argumente, an denen ein Wert angenommen wird [sofern er überhaupt angenommen wird], und der Arcussinus liefert Dir davon nur einen willkürlich ausgewählten)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungenauigkeiten beginnen schon etwas eher, nämlich hier:

Zitat:
Original von Tempi



Genauer betrachtet folgt daraus zunächst nämlich nur




Aber das ist gar nicht so sehr das Problem, sondern dies:

Versuchen wir nun, per Einsetzen der Anfangsbedingung in (*) die Integrationskonstante zu bestimmen, geraten wir ins Stutzen ... was nun? smile


Vielleicht sollte man sich dran erinnern, dass im Verlauf der Umformungen durch dividiert wurde, was natürlich nur im Fall statthaft ist - zu dumm, dass das just beim Anfangswert verletzt ist. Teufel
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Hat das was mit der Verschiebung des um ein Vielfaches von in Richtung der y-Achse zu tun?

Dann hätte ich darauf getippt, dass es so ausschaut:

Nur wie kommst du auf
und


Vor allem das mit dem und versteh ich nicht


@HAL 9000
Ja genau auf das Problem bin ich auch gestoßen, nur wie löse ich das ganze jetzt? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun offensichtlich stößt man mit einer Lösung wie der obigen nie auf einen Punkt mit - selbst dann nicht, wenn man irgendwo in der Nähe startet in einem Punkt mit .

Das kann nur eins bedeuten: Wenn überhaupt eine Lösung existiert, dann eine, für die in einer ganzen Umgebung des Startwertes gilt, d.h. in deinem Fall dann . Wie sich herausstellt, ist diese konstante Funktion tatsächlich eine Lösung der DGL, sogar auf ganz fortsetzbar. Augenzwinkern
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das ist tatsächlich die Lösung. Was ist der richtige Ansatz bei so einer Aufgabe? Wenn ich hier wie gewohnt anfange, umzuformen, stoße ich auf das Problem beim Einsetzen der Anfangsbedingung. Oder ist so eine Aufgabe dann doch eher Argumentationssache? Oder ich habe es einfach noch nicht ganz so verstanden verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tempi
Was ist der richtige Ansatz bei so einer Aufgabe?

Kritisches Hinterfragen aller (evtl.) bedenklichen Rechenschritte - so wie ich es anhand dieser Division durch beschrieben habe. Augenzwinkern
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