Merkwürdige Differentialgleichung |
16.05.2015, 11:30 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Merkwürdige Differentialgleichung ich bin auf eine DGL gestoßen, die auf den ersten Eindruck etwas komisch für mich ausschaut. Es geht um Zu bestimmen ist die Lösung des Anfangswertproblems mit Meine Ideen: Einfach das Integral darüber legen geht nicht, weil man nicht einfach ein hizufügen kann. Durch Trennung der Veränderlichen bin ich auch nicht weitergekommen, zumal hier auch kein vorkommt. Wer kann mir weiterhelfen? |
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16.05.2015, 11:34 | Jayk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, x kommt nicht explizit vor. Das ist weniger ein Problem als ein Grund zur Freude. Eigentlich sollte es sein. Trennung der Veränderlichen ist schon der richtige Ansatz. Klar, wieso? |
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16.05.2015, 11:54 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach okay, das leere Integral hatte mich verunsichert. Aber es ist ja gar nicht leer, sondern . Dann schaut das ganze bei mir aber so aus: |
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17.05.2015, 14:36 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
17.05.2015, 14:46 | Jayk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was konkret bedeutet dieser Smiley? Du hast doch das Ergebnis... |
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17.05.2015, 15:07 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, naja ich habe dann weiter nach aufgelöst: Laut dem Anfangswertproblem soll ja für herauskommen, aber der geht doch nur von bis |
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17.05.2015, 15:19 | Jayk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Sinus ist nicht invertierbar. |
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17.05.2015, 16:12 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm und wenn ich dann einfach gleich einsetze? Die e-Funktion wird noch nie Null also geht das doch auch nicht? |
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17.05.2015, 16:40 | Jayk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit dem Arcussinus liegst Du schon richtig. Aber ist eben nicht die einzige Lösung für , sondern eben auch und . Und von alle denen mußt Du diejenige auswählen, die mit der Anfangsbedingung verträglich ist. |
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17.05.2015, 17:14 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das versteh ich jetzt nicht ganz. Meinst du mit und die Ableitung? |
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17.05.2015, 17:36 | Jayk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Sorry, die Bezeichnung war nicht gut durchdacht. Du hattest doch schon . Nun folgt daraus nicht unbedingt, daß , sondern usw. wären auch möglich. (zeichne Dir doch mal eine Sinuskurve. Es gibt immer unendlich viele Argumente, an denen ein Wert angenommen wird [sofern er überhaupt angenommen wird], und der Arcussinus liefert Dir davon nur einen willkürlich ausgewählten) |
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17.05.2015, 18:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ungenauigkeiten beginnen schon etwas eher, nämlich hier:
Genauer betrachtet folgt daraus zunächst nämlich nur Aber das ist gar nicht so sehr das Problem, sondern dies: Versuchen wir nun, per Einsetzen der Anfangsbedingung in (*) die Integrationskonstante zu bestimmen, geraten wir ins Stutzen ... was nun? Vielleicht sollte man sich dran erinnern, dass im Verlauf der Umformungen durch dividiert wurde, was natürlich nur im Fall statthaft ist - zu dumm, dass das just beim Anfangswert verletzt ist. |
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17.05.2015, 18:24 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat das was mit der Verschiebung des um ein Vielfaches von in Richtung der y-Achse zu tun? Dann hätte ich darauf getippt, dass es so ausschaut: Nur wie kommst du auf und Vor allem das mit dem und versteh ich nicht @HAL 9000 Ja genau auf das Problem bin ich auch gestoßen, nur wie löse ich das ganze jetzt? |
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17.05.2015, 18:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun offensichtlich stößt man mit einer Lösung wie der obigen nie auf einen Punkt mit - selbst dann nicht, wenn man irgendwo in der Nähe startet in einem Punkt mit . Das kann nur eins bedeuten: Wenn überhaupt eine Lösung existiert, dann eine, für die in einer ganzen Umgebung des Startwertes gilt, d.h. in deinem Fall dann . Wie sich herausstellt, ist diese konstante Funktion tatsächlich eine Lösung der DGL, sogar auf ganz fortsetzbar. |
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17.05.2015, 18:56 | Tempi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt, das ist tatsächlich die Lösung. Was ist der richtige Ansatz bei so einer Aufgabe? Wenn ich hier wie gewohnt anfange, umzuformen, stoße ich auf das Problem beim Einsetzen der Anfangsbedingung. Oder ist so eine Aufgabe dann doch eher Argumentationssache? Oder ich habe es einfach noch nicht ganz so verstanden |
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17.05.2015, 19:00 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kritisches Hinterfragen aller (evtl.) bedenklichen Rechenschritte - so wie ich es anhand dieser Division durch beschrieben habe. |
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