Konfidenzintervall für den Parameter o einer B(n,o) verteilten Zufallsvariablen

17.05.2015, 13:46

Mathejunkie12

Konfidenzintervall für den Parameter o einer B(n,o) verteilten Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich beschäftige mich momentan allgemein mit den Konfidenzintervallen und komme einfach nicht weiter.

Nochmal zur Aufgabenvoraussetzung:

Man sucht ein Konfidenzintervall für den Parameter o einer B(n, o ) verteilten Zufallsvariablen

Bei der Herleitung des Konfidenzintervall, hängt mein Verstand bei folgendem Punkt:

Das Ereignis

$\begin{eqnarray*} -c\leq \frac{Y-no}{\sqrt{n*o*(1-o)}}\leq c \end{eqnarray*}$ (1)

tritt genau dann ein, wenn eine der folgenden Ungleichungen erfüllt ist/gilt:

$\begin{eqnarray*} | Y-no| \leq c\sqrt{no(1-o)} \end{eqnarray*}$

Wieso existieren hier die Betragszeichen? Weil es bei (1) von -c bis c geht?

So nun stellt man im Buch die Ungleichung halt nach o um. Diese Schritte verstehe Ich alle.
Am Ende steht dann

$\begin{eqnarray*} o^{2}(c^{2}+n) - o(2Y+c^{2})+\frac{1}{n}Y^{2}\leq 0 \end{eqnarray*}$ (2)

Zu erwähnen ist jetzt, dass plötzlich c als das 1-alpha/2 Quantil einer N (0,1)-verteilten Zufallsvariablen definiert wird.

Jetzt kommt aber eigentlich der HAuptgrund, warum ICh überhaupt ein Thema hier aufmache.

Nun scheibt man in der Erklärung

Man erkent, dass die Ungeichung (2) für alle o zwischen

$\begin{eqnarray*} U(Y)=\frac{1}{n+c^{2}}(Y+\frac{c^{2}}{2}-c\sqrt{\frac{Y(n-Y)}{n}+\frac{c^{2} }{4} } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(Y)=\frac{1}{n+c^{2}}(Y+\frac{c^{2}}{2}+c\sqrt{\frac{Y(n-Y)}{n}+\frac{c^{2} }{4} } ) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Wie soll Ich das erkennen? Ich bin leider kein Einstein, dass Ich so eine bloße Formel durch Begutachten der Ungleichung , einfach aufschreiben kann.

Meine Ideen:
Meine Idee war das ich für o in die Ungleichung, einfach diese Ober und Untergrenzen des Intervalls einsetze, aber das würde mir ja nur zeigen, dass die Ungleichung erfüllt ist. Mir fehlt einfach genau der Gedanke, wie ICh von der Ungleichung zu der Ober - und Untergrenze des Intervalls komme.

Muss Ich vielleicht einfach 2 Fälle bilden und dann die Ungleichungen jeweils nach o umstellen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Vielen Dank im Voraus

17.05.2015, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathejunkie12
Das Ereignis

$\begin{eqnarray*} -c\leq \frac{Y-no}{\sqrt{n*o*(1-o)}}\leq c \end{eqnarray*}$ (1)

tritt genau dann ein, wenn eine der folgenden Ungleichungen erfüllt ist/gilt:

$\begin{eqnarray*} | Y-no| \leq c\sqrt{no(1-o)} \end{eqnarray*}$

Wieso existieren hier die Betragszeichen? Weil es bei (1) von -c bis c geht?

Richtig, denn im Fall $\begin{align*} c\geq 0 \end{align*}$ ist die Ungleichung $\begin{align*} -c\leq \frac{Y-n\cdot o}{\sqrt{n\cdot o\cdot (1-o)}}\leq c \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} \frac{|Y-n\cdot o|}{\sqrt{n\cdot o\cdot (1-o)}}\leq c \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Mathejunkie12
Zu erwähnen ist jetzt, dass plötzlich c als das 1-alpha/2 Quantil einer N (0,1)-verteilten Zufallsvariablen definiert wird.

Was heißt schon "plötzlich"? Das (bzgl. der Wahrscheinlichkeiten) symmetrischen $\begin{align*} (1-\alpha) \end{align*}$ -Konfidenzintervall läuft von Quantilniveau $\begin{align*} \frac{\alpha}{2} \end{align*}$ bis zu $\begin{align*} 1-\frac{\alpha}{2} \end{align*}$ . Und da bei der Normalverteilung diese Quantile symmetrisch zur Null liegen, d.h. $\begin{align*} z_{\frac{\alpha}{2}} = -z_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{align*}$ , ist diese Wahl doch durchaus logisch und nachvollziehbar.

Zitat:

Original von Mathejunkie12
Man erkent, dass die Ungeichung (2) für alle o zwischen

$\begin{eqnarray*} U(Y)=\frac{1}{n+c^{2}}(Y+\frac{c^{2}}{2}-c\sqrt{\frac{Y(n-Y)}{n}+\frac{c^{2} }{4} } ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(Y)=\frac{1}{n+c^{2}}(Y+\frac{c^{2}}{2}+c\sqrt{\frac{Y(n-Y)}{n}+\frac{c^{2} }{4} } ) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Wie soll Ich das erkennen?

Indem du die bereits genannte quadratische Ungleichung (2) löst. Dazu muss man kein Einstein sein, sondern nur in der Schule bei quadratischen (Un-)Gleichungen aufgepasst haben. Augenzwinkern

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