Gödelscher Unvollständigkeitssatz 1 |
| 17.05.2015, 15:56 | leoclid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Gödelscher Unvollständigkeitssatz 1 Dieser Satz sagt ja aus, dass man innerhalb einer Theorie nicht jede in dieser Theorie formulierbare Aussage beweisen oder widerlegen kann (mit den Mitteln der Theorie). Dabei habe ich allerdings folgendes Verständnis Problem. Sind solche unbeweisbar/unwiderlegbaren Aussagen von der Theorie unabhängig. Beispiel wäre das Parallelenaxiom, das tatsächlich unabhängig von den anderen Axiomen ist und jenachdem welche Geometrie (Ebene oder gekrümmte Flächen) ich betrachte anders formuliert werden muss. oder Sind solche unbeweisbar/unwiderlegbaren Aussagen innerhalb der Theorie tatsächlich war? Also könnte es sein, dass zum Beispiel die Goldbachsche Vermutung "wahr" ist, ohne das wir sie beweisen können. Dann wäre sie ja nicht unabhängig von der Peano Arithmetik. Könnte mir da wer weiterhelfen. |
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| 17.05.2015, 16:36 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gödelscher Unvollständigkeitssatz 1 hallo, deine fragen sind sehr gut, insbesondere die sache mit der goldbachschen vermutung. Es kann tatsächlich sein, das die goldbachsche vermutung wahr ist und man das trotzdem nicht beweisen kann, weil man in diesem system, indem die nat. Zahlen aufgebaut sind, nicht in endlich vielen schritten sämtliche wahren aussagen herleiten kann. Und dann muss man sich überlegen, ob man die klassiche ja-nein-logik aufgeben muss und dann z.B. eine 4stufige logik erfindet mit 1.ja und beweisbar 2. nein und beweisbar 3.wahrscheinlich ja aber unbeweisbar und 4.wahrscheinlich nein aber unbeweisbar. 
gruss ollie3 |
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| 17.05.2015, 18:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach Gödel gibt es in jeder Theorie, die die Zahlentheorie umfasst, wahre Aussagen, die in der Theorie nicht beweisbar sind. Erweitert man die Theorie um eine solche wahre nicht beweisbare Aussage, enthält auch die neue Theorie wahre Aussagen, die in der neuen Theorie nicht beweisbar sind. Hätte man eine (unendliche) Liste aller Aussagen, dann wäre die Teil-Liste der falschen Aussagen vollständig, die Teil-Liste der wahren Aussagen aber unvollständig. Die 4stufige ollie3-Logik reduziert sich so auf 3stufige Logik (nomen est omen) . Wenn man will, kann man eine endliche 3stufige Aussageneinteilung wahr, falsch, unbewiesen (wahr oder falsch) und eine unendliche 3stufige Aussageneinteilung wahr, falsch, unbewiesen (wahr) unterscheiden. Die endliche (und täglich wachsende) Liste ist das, woran Mathematiker arbeiten; die unendliche Liste kann man nicht herstellen, weil Beweise Zeit brauchen und in endlichen Zeichenketten dargestellt werden können / dargestellt werden müssen. |
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| 17.05.2015, 19:14 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hier müsste man wohl noch hinzufügen: "wenn die Theorie konsistent ist". |
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| 18.05.2015, 03:44 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Gödelscher Unvollständigkeitssatz 1 Wenn die Goldbachsche Vermutung unabhaengig von der Peano-Arithmetik waere, dann wuerde sich daraus automatisch ihre Richtigkeit ergeben. Denn waere sie falsch, muesste es ja ein Gegenbeispiel geben, dass man durch Nachrechnen innerhalb der Peano-Arithmetik als Gegenbeispiel verifizieren koennte. Beim Parallenaxiom ist das etwas anders und vor allem einfacher. Man kann ja aus dem Axiomensystem der euklidischen Geometrie das Parallelenaxiom einfach rausstreichen und dann Modelle angeben, die alle uebrigen Axiome noch erfuellen, das Parallelenaxiom jedoch nicht mehr. Damit sieht man unmittelbar, dass das Parallelenaxiom von den anderen unabhaengig (also unbeweisbar und unwiderlegbar) ist. |
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| 18.05.2015, 11:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aussagen, die von einer Theorie unabhängig sind, sind in der Theorie weder wahr noch falsch. Eine Aussage ist genau dann unabhängig von einer Theorie , wenn es eine und umfassende Theorie gibt, in der wahr ist, und wenn es eine und (nicht ) umfassende Theorie gibt, in der A falsch ist. Geometrie ohne Parallelenaxiom ist eine Theorie T. Davon unabhängig ist das Parallelenaxiom A. Euklidische Geometrie umfasst Geometrie und das Parallelenaxiom, nichteuklidische (parabolische oder hyperbolische) Geometrie umfasst Geometrie und dort gilt das Parallelenaxiom nicht. Bei unbewiesenen Aussagen liegt der Fall anders. Sie können von einer Theorie unabhängig, wahr&beweisbar, wahr&unbeweisbar oder falsch sein. Gödels Unabhängigkeitssatz beweist die Existenz von wahren Aussagen, die nicht beweisbar sind. Gödels Unabhängigkeitssatz sagt nichts über unabhängige Aussagen. Wäre die Goldbachsche Vermutung falsch, dann müsste es ein Gegenbeispiel geben. Das heißt aber nicht notwendig, dass man ein Gegenbeispiel hätte oder auch nur finden könnte. Wäre sie falsch, könnte man theoretisch beweisen, dass sie falsch ist. Das heißt aber noch lange nicht, dass es bewiesen wäre, dass sie falsch ist. |
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| 18.05.2015, 16:17 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich beziehe mich bei meinen Ausfuehrungen auf das Buch "Zahlen" (Ebbinghaus et al., Springer). Da steht im letzten Kapitel, was ich hier reproduziert habe. Einziger Unterschied ist, dass da Fermat anstatt Goedel als Beispiel genommen wird -- das Buch ist schon etwas aelter. Wahr ist, was stimmt, unabhaengig davon, ob eine Aussage zur Theorie gehoert oder nicht. Wenn Goedel nachweislich kein Satz der Zahlentheorie waere (davon unabhaengig, also weder beweis- noch widerlegbar), dann waere er automatisch auch als richtig erkannt. Das liegt an der Art der Aussage ("Fuer alle ...") und der Tatsache, dass man mit Peano effektiv rechnen kann. Ein Gegenbeispiel waere innerhalb der Zahlentheorie unmittelbar als solches durch Nachrechnen verifizierbar. |
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| 18.05.2015, 17:53 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Korrektur Kleine Korrektur: das soll natuerlich im letzten Posting "Goldbach" und nicht "Goedel" heissen ... |
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| 18.05.2015, 18:23 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin sicher, das passt nicht für das Parallelenaxiom . In der euklidischen Geometrie gibt es zu jeder Geraden g und zu jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, genau eine Gerade durch P, die g nicht schneidet. In der elliptischen Geometrie gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, keine Gerade durch P, die g nicht schneidet. In der hyperbolischen Geometrie gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, mindestens 2 verschiedene Geraden durch P, die g nicht schneiden. Ein noch einfacheres Beispiel: 1+1=2 in 1+1=0 in Beide Aussagen sind wahr und beweisbar, aber in verschiedenen Theorien. Innerhalb einer Theorie ist genau eine der Aussagen wahr, die andere falsch. |
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| 18.05.2015, 18:37 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn "Goldbach" unabhängig von der Zahlentheorie wäre, dann gäbe es eine die Zahlentheorie umfassende Theorie mit "Goldbach" wahr und eine die Zahlentheorie umfassende Theorie mit "Goldbach" falsch. Ob man solche Theorien finden wird, weiß man noch nicht. Nachtrag: Okay, Du hast recht, nach Ebbinghaus et.al. gehört "Goldbach" zur Zahlentheorie. Wenn "Goldbach" eine wahre Aussage der Zahlentheorie ist, kann man den Satz beweisen (wenn er nicht nach Gödel unbeweisbar ist) oder nicht (wenn er nach Gödel nicht beweisbar ist). Wenn "Goldbach" eine falsche Aussage der Zahlentheorie ist, dann kann man das beweisen, aber niemand weiß, ob und wann das bewiesen wird. Es kann dann sein, dass es ein Gegenbeispiel gibt, aber niemand weiß, ob und wann eines gefunden werden wird. Wenn man ein Gegenbeispiel gefunden hätte, dann wäre das ein Beweis für die Falschheit. Nachtrag: Okay, Du hast noch einmal recht, nach Ebbinghaus et.al. gibt es dann ein Gegenbeispiel. |
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| 18.05.2015, 20:13 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo, ich habe auch weiter über die sache nachgedacht. Was ist denn, wenn es ein gegenbeispiel für goldbach gibt, aber das in so hohen zahlbereichen wie 10 hoch 100 milliarden liegt. Die schnellsten computer der welt würden doch über 100 jahre brauchen, um dieses gegenbeispiel zu ermitteln. Das problem ist doch eigentlich die entscheidbarkeit, es gibt weder unendlich schnelle computer noch unendliche zeitspannen (zumindest in einem menschenleben). Hier sieht man wieder die magie der unendlichkeit, die alle räumlichen und zeitlichen grenzen sprengt...
gruss ollie3 |
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| 18.05.2015, 20:19 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eben gerade nicht. Wenn Goldbach von der Zahlentheorie unabhaengig waere, dann waere Goldbach automatisch richtig, weil man ihn andernfalls schon in der "gewoehnlichen" Zahlentheorie per effektiv verifizierbarem Gegenbeispiel widerlegen koennte. Es koennte dann also auch keine "Super-Zahlentheorie" geben, in der Goldbach falsch waere. Eine solche "Super-Zahlentheorie" waere ein Widerspruch in sich, da sie ja die "gewoehnliche" Zahlentheorie, die fuer die Widerlegung schon hinreicht, als Teilmenge enthielte. Das ist der wesentliche Unterschied zum Parallelenaxiom, das gelten kann, oder auch nicht. Goldbach aber ist entweder wahr oder falsch. Das kann man sich nicht aussuchen. Nebenbei: Bei der ganzen Argumentation kommt es nicht darauf an, ein Gegenbeispiel wirklich zu finden, es genuegt zu wissen, dass es eines geben muss, wenn Goldbach falsch ist. Dass man das Gegenbeispiel auch effektiv als solches verifizieren kann, macht das Problem mit der Suche dann sogar berechenbar. (Im prinzipiellen, nicht im praktischen Sinne). |
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| 19.05.2015, 11:20 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt Geometrie ohne Parallelenaxiom. Darin ist keiner der Sätze über Parallelen beweisbar. Das liegt nicht daran, dass diese Sätze wahr sind und zu den Sätzen gehören, die nach Gödel unbeweisbar sind. Es liegt vielmehr daran, dass diese Sätze unabhängig von der Geometrie sind. Beweis für die Unabhängigkeit sind die erweiterten Geometrien euklidische Geometrie, elliptische Geometrie, hyperbolische Geometrie, in denen Sätze über Parallelen wahr sind, die sich gegenseitig widersprechen. Warum kann das mit der Zahlentheorie und Goldbach nicht genau so sein ? Ich gebe zu, dass ich das nicht verstehe. Kannst Du das bitte weiter erklären ? Hast Du vielleicht Literatur, die das deutlich macht ? Ich verstehe nicht, wie Ebbinghaus et.al. dazu kommt, dass es ein Gegenbeispiel geben muss. Ebbinghaus et.al. stellen doch nur fest, dass Goldbach wahr ist, wenn Goldbach unabhängig von ZFC ist. Wie schließt man daraus auf die Wahrheit bei Unabhängigkeit von der Zahlentheorie ? |
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| 19.05.2015, 15:48 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine Aussage kann nur wahr innerhalb einer Theorie sein. Es gibt keine Aussage, die einfach nur "stimmt". Man kann natürlich eine Aussage als wahr annehmen, wenn sie unabhängig von der speziellen Theorie ist. Dann hat man aber eine neue Theorie, in der diese Aussage als wahr angenommen wird und die damit ein Axiom dieser neuen Theorie ist. |
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| 19.05.2015, 17:34 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht selten wird eine Theorie als die Menge aller aus den Axiomen herleitbaren Saetze definiert. Wenn Goldbach richtig, aber von Goedel betroffen waere, dann wuerde der "Satz" nicht zur Zahlentheorie gehoeren. Trotzdem wuerde er aber dann schlicht stimmen. Dafuer brauche ich keine neue Theorie. "Schlicht stimmen" ist auch in der alten wohldefiniert. |
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| 19.05.2015, 17:53 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das da sieht ganz gut aus: joergresag.privat.t-online.de/mybk3htm/chap57.htm Die wesentliche Pointe ist aus meiner Sicht: "Wenn es unter den natürlichen Zahlen ein Gegenbeispiel zur Aussage A gibt, dann bekommt die Peano-Arithmetik das auch mit, d.h. sie kann die Aussage NICHT A beweisen. Wenn also die Goldbachsche Vermutung falsch ist, dann gibt es in der Peano-Arithmetik auch einen Beweis dazu." Ansonsten kann man sich aus der axiomatischen Mengenlehre ja saemtliche Zahlensysteme konstruieren oder "erschaffen". In ZFC steckt schon die gesamte Zahlentheorie mit drin (Auswahlaxiom soll man fuer Zahlentheorie aber gar nicht brauchen). Drum heisst das Buch ja auch "Zahlen" und enthaelt dieses Kapitel ueber (nicht-naive) Mengenlehre. Die beste Quelle fuer unser Thema duerfte es kaum sein. Ich habe aber nichts besseres hier. |
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| 19.05.2015, 18:17 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@rg Danke, das muss ich erst einmal zu verstehen versuchen, und darüber muss ich sicher noch lange weiter nachdenken. Ich weiß, dass ich das Problem der von einer Theorie unabhängigen Sätze noch nicht verstanden habe. RavenOnJ hast du geantwortet (ich zitiere Dich): "Nicht selten wird eine Theorie als die Menge aller aus den Axiomen herleitbaren Saetze definiert." Das kann nicht sein, sonst hätte Hilbert recht gehabt, und der Gödelsche Unvollständigkeitssatz wäre sinnlos. Ganz im Gegenteil hat Gödel gezeigt, dass jede hinreichend mächtige Theorie wahre Sätze enthält, die nicht herleitbar sind. |
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| 19.05.2015, 19:01 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Ecke, aus der ich komme (Informatik) machen sie das gerne so. "Ein formales System bestimmt eine Theorie, die Menge aller im System herleitbaren Aussagen." Passt in der Definition natuerlich nicht in Deinen Satz, klar. |
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| 20.05.2015, 01:34 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Nachtrag Nachtrag: In der Modelltheorie bezeichnen sie hingegen die Menge aller im gegebenen System wahren Aussagen als "Theorie", d.h. zu den aus den Axiomen herleitbaren Aussagen kommen noch die dazu, die 'trotzdem' stimmen. In diesem Sinne hatte ich den Begriff aber nicht benutzt, sonder nur so wie oben beschrieben. |
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| 29.05.2015, 09:00 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Elvis' Aussage stimmt aber dennoch. Du beziehst Dich auf das Standardmodell, der Gödelsche Unvollständigkeitssatz impliziert hier aber die Existenz eines Nichtstandardmodells der natürlichen Zahlen. In diesem Modell ist ist Goldbach falsch, denn es gibt eine nichtstandard-natürliche Zahl innerhalb dieses Modells, die ein Gegenbeispiel darstellt. Es gibt allerdings kein Modell (auch kein Nichtstandardmodell) von Peano+Nicht(Goldbach), in dem ein Gegenbeispiel im Standardzahlenbereich dieses Modells existiert. |
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| 04.06.2015, 05:52 | rg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt. In einem Nichtstandard-Modell kann Goldbach falsch sein. Aber eben erst durch die Nichtstandard-Zahlen, die dann dafuer sorgen. Wenn Goldbach vom Standard-Modell unabhaengig ist, dann muss Goldbach da stimmen. (Im Standard-Modell kann es da ja definitiv nicht widerlegen.) |
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