Wann konvergiert diese Potenzreihe?

17.05.2015, 20:41

Tempi

Wann konvergiert diese Potenzreihe?

Hi,
es geht um folgende Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^{\infty } \frac{k^5-k^\alpha }{k^8} \end{eqnarray*}$

ich soll bestimmen, wann diese konvergiert.

Zuerst habe ich die Reihe anders dargestellt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^{\infty }( \frac{1}{k^3}-\frac{k^\alpha}{k^8} ) \end{eqnarray*}$

Der erste Summand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^3} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge und konvergiert somit. Der zweite Summand $\begin{eqnarray*} \frac{k^\alpha}{k^8} \end{eqnarray*}$ ist nur eine Nullfolge wenn $\begin{eqnarray*} \alpha <8 \end{eqnarray*}$ ist. Somit konvergiert diese Folge für $\begin{eqnarray*} \alpha <8 \end{eqnarray*}$

Stimmen diese Überlegungen? verwirrt

17.05.2015, 20:44

HAL 9000

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falscher Begriff
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^{\infty } \frac{k^5-k^\alpha }{k^8} \end{eqnarray*}$ ist keine Potenzreihe, sondern einfach nur eine Reihe, die von einem Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ abhängt. unglücklich

17.05.2015, 20:47

Tempi

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Oh stimmt dazu fehlt ja das x. Peinlich unglücklich

Dann meine ich natürlich wann konvergiert diese Reihe.

17.05.2015, 20:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tempi
Der zweite Summand $\begin{eqnarray*} \frac{k^\alpha}{k^8} \end{eqnarray*}$ ist nur eine Nullfolge wenn $\begin{eqnarray*} \alpha <8 \end{eqnarray*}$ ist. Somit konvergiert diese Folge für $\begin{eqnarray*} \alpha <8 \end{eqnarray*}$

Stimmen diese Überlegungen?

Sie stimmen nicht: Nullfolge ist eine notwendige Voraussetzung für Reihenkonvergenz, keine hinreichende. unglücklich

So auch im vorliegenden Fall nicht: Für $\begin{eqnarray*} 7\leq \alpha<8 \end{eqnarray*}$ divergiert die Reihe ebenfalls, obwohl die Reihenglieder eine Nullfolge bilden

17.05.2015, 21:04

Tempi

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Hm dann versuche ich es mal mit dem Wurzelkriterium. Ich kann die Summen aber trotzdem seperat betrachten oder?
Also quasi $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^{\infty } \frac{1}{k^3}-\sum\limits_{k=3}^{\infty } \frac{k^\alpha}{k^8} \end{eqnarray*}$ und davon erst die erste überprüfen und dann die zweite.

17.05.2015, 21:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Tempi
Ich kann die Summen aber trotzdem seperat betrachten oder?

Wenn du es ordentlich begründest, dann ja.

17.05.2015, 21:51

Tempi

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Im Endeffekt ist es egal ob ich $\begin{eqnarray*} (a-b)+(c-d) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a+c-b-d \end{eqnarray*}$ schreibe.

Also ich habe das ganze jetzt mal mit dem Wurzelkriterium versucht, da mir das Quotientenkriterium bei der ersten Summe schon $\begin{eqnarray*} q=1 \end{eqnarray*}$ gebracht hat.

Wurzelkriterium für die erste Summe:
$\begin{eqnarray*} q=\sqrt[n]{\frac{1}{k^3}}= \frac{1}{\sqrt[n]{k^3}} \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k>1 \end{eqnarray*}$ und somit konvergent.

Dann der zweite Summand:
$\begin{eqnarray*} q=\sqrt[n]{\frac{k^\alpha}{k^8}}= \sqrt[n]{k^{\alpha-8}} \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} 0<q<1 \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} \alpha-8 \leq -1 \end{eqnarray*}$ sein. Dass ist dann der Fall wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \leq 7 \end{eqnarray*}$

Wie schaut es jetzt bis hier her aus? verwirrt

17.05.2015, 22:35

HAL 9000

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Nein, du wendest das Wurzelkriterium mit einem fatalen Halbwissen an. unglücklich

Richtig ist: Nach Wurzelkriterium ergibt sich bei der ersten Reihe

$\begin{align*} \lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{\frac{1}{k^3}} = 1 \end{align*}$ ,

das lässt keine Entscheidung über Konvergenz/Divergenz zu.

Ist die nie bei anderen, einfacheren Beispielen das Konvergenzverhalten von $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\beta}} \end{align*}$ begegnet?

Konvergenz für $\begin{align*} \beta>1 \end{align*}$ , Divergenz für $\begin{align*} \beta\leq 1 \end{align*}$ - beweisbar z.B. mit Verdichtungskriterium.

17.05.2015, 23:00

Tempi

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Ich habe leider noch nicht ganz so viele Beispiele gerechnet und erst vor kurzem mit dem ganzen Thema Reihen etc. angefangen.

Okay dann weiß ich also schon mal, dass die erste Summe konvergiert. Gibt es bei der zweiten Summe auch so etwas, dass man von Anfang an sehen kann ohne groß rechnen zu müssen?

17.05.2015, 23:21

HAL 9000

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Auch die zweite Reihe ist vom Typ $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{\beta}} \end{align*}$ . Muss ich jetzt alles nochmal erzählen?

17.05.2015, 23:37

Tempi

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Bei der zweiten Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^{\infty } \frac{k^\alpha}{k^8} \end{eqnarray*}$ ist der Zähler doch nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} k^\alpha \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Oder wäre dann die Lösung, dass diese Reihe für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, da dann der Zähler immer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ wäre?

18.05.2015, 00:27

Tempi

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Ich denke ich bin jetzt drauf gekommen. Damit $\begin{eqnarray*} \frac{k^\alpha}{k^8} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^\beta} \end{eqnarray*}$ wird, so dass $\begin{eqnarray*} \beta>1 \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} \alpha<7 \end{eqnarray*}$ sein. Eigentlich gar nicht so schwer. Danke für die Hilfe Freude

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