Gleichung mit Substitution und Polynomdivision

17.05.2015, 20:52

Gio83

Gleichung mit Substitution und Polynomdivision

Meine Frage:
Liebe Community,

ich habe folgende Gleichung, die ich nicht gelöst bekomme.

Sie lautet: 2 $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ + 84 = -10

Diese Gleichung habe ich versucht, mittels Substitution, anschließender Polynomdivision und PQ Formel zu lösen. Wenn es auf diesem Weg möglich ist, diese Gleichung so zu lösen, würde ich mich sehr auf eure Hilfe freuen und gerne wissen, was ich falsch mache. Vielleicht übersehe ich auch nur irgendwas.

Mfg Gio83

Meine Ideen:

2 $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ + 84 = -10 |+10
2 $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ + 94 = 0

Substitution: $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z^{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich: 2 $\begin{eqnarray*} z^{3} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ + 94 = 0

Die Zahl 1 könnte ich einsetzen für z, so dass die Gleichung 0 ergibt.

Polynomdivision: (2 $\begin{eqnarray*} z^{3} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ + 94) : ( $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - 1) = 2 $\begin{eqnarray*} z^{2} \end{eqnarray*}$ + 2 $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - 94

2 $\begin{eqnarray*} z^{2} \end{eqnarray*}$ + 2 $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - 94 = 0 |:2
$\begin{eqnarray*} z^{2} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - 47 = 0

PQ - Formel: $\begin{eqnarray*} z_{1,2} \end{eqnarray*}$ = - 0,5 $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,25 + 47} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} \end{eqnarray*}$ = - 0,5 $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{47,25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{1,2} \end{eqnarray*}$ = - 0,5 $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 6,874
$\begin{eqnarray*} z_{1} \end{eqnarray*}$ = 6,374
$\begin{eqnarray*} z_{2} \end{eqnarray*}$ = - 7,374

Resubstitution: $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ = 6,374 | $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{6,374} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{} \end{eqnarray*}$ = 1,854

$\begin{eqnarray*} x^{} \end{eqnarray*}$ = - 1,854

Setze ich diese Ergebnisse nun in die obige Gleichung: 2 $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ + 84 = -10 ein, passt es nicht. Aber wieso?

17.05.2015, 21:01

Leopold

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RE: Gleichung mit Substitution und Polynomdivision
Gleich am Anfang ist's passiert:

Zitat:

Original von Gio83
Substitution: $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \color{red} z^{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich: 2 $\begin{eqnarray*} \color {red}z^{3} \end{eqnarray*}$ - 96 $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ + 94 = 0

Und später dann: Die Gleichung $\begin{align*} x^3 = a \end{align*}$ besitzt nur eine Lösung: $\begin{align*} x = \sqrt[3]{a} \end{align*}$ .

17.05.2015, 21:22

Gio83

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RE: Gleichung mit Substitution und Polynomdivision
Danke!!!!! Gott

Ich war schon am verzweifeln. x^6 hätte ich zu z^2 machen müssen, richtig? Und die Gleichung besitzt deswegen nur eine Lösung, weil ein Ergebnis negativ war. Und die Polynomdivision hätte ich mir auch schenken können, in diesem Fall. Habe mich gerade erst hier angemeldet, und das so schnell eine Antwort kommt, da habe ich nicht mit gerechnet.

Mfg Gio83

17.05.2015, 21:28

Leopold

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RE: Gleichung mit Substitution und Polynomdivision

Zitat:

Original von Gio83
Und die Gleichung besitzt deswegen nur eine Lösung, weil ein Ergebnis negativ war.

Mir erschließt sich nicht, was du damit sagen willst. Die korrekte $\begin{align*} z \end{align*}$ -Gleichung jedenfalls besitzt zwei Lösungen, die $\begin{align*} x \end{align*}$ -Gleichung ebenfalls.

17.05.2015, 21:43

Gio83

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RE: Gleichung mit Substitution und Polynomdivision
Tatsächlich... Hammer

18.05.2015, 17:57

klarsoweit

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RE: Gleichung mit Substitution und Polynomdivision

Zitat:

Original von Gio83
Substitution: $\begin{eqnarray*} x^{6} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z^{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$

Vielleicht hat es sich inzwischen geklärt, aber hier liegt der Hase im Pfeffer. Aus z = x³ folgt $\begin{eqnarray*} z^2 = x^6 \end{eqnarray*}$ . smile

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