Zahlentheorie

18.05.2015, 09:09	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Meine Frage: Hallo . Ich Habe hier eine Aufgabe, wo ich zwar mal angefangen habe mit meiner Idee, aber dann komm ich an einem Punkt nicht weiter und wollte mal nachfragen, ob mein Ansatz der Richtige ist. Aufgabe:Es sei p ungleich 2 eine Primzahl.Zeigen sie,dass die Kongruenz $\begin{eqnarray} x^4\equiv -4(mod p) \end{eqnarray}$ genau dann lösbar ist, wenn p als Summe von zwei Quadratzahlen schreiben lässt. Meine Ideen: Hinrichtung: Es gelte $\begin{eqnarray} x^4\equiv -4(mod p) \end{eqnarray}$ ,d.h. es exisiert ein x dass die Bedingung erfüllt. $\begin{eqnarray} x^4\equiv -4(mod p) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x^4+4\equiv 0(mod p) mit x^4=((x-1)^2+1)((x+1)^2+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow p\| ((x-1)^2+1) \vee p\|((x+1)^2+1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow OE: p\|((x-1)^2+1) \Rightarrow \exists c \in \mathbb Z pc=((x-1)^2+1)\Rightarrow p=\frac{((x-1)^2+1)}{c} \end{eqnarray}$ Aber p wäre ja dann keine Summe von Quadratzahlen es sei denn c=1. Rückrichtung: Es gelte: $\begin{eqnarray} p=a^2+b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^4\equiv -4(mod (a^2+b^2))<br /> \Rightarrow x^4+4\equiv 0(mod(a^2+b^2))<br /> c \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ Z.Z $\begin{eqnarray} \exists x: x^4=c(a^2+b^2) \end{eqnarray}$ Und dann nach x auflösen,wobei unser x dann nicht mehr in $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ist. Wahrscheinlich muss ich noch ausnutzen dass mein p ungerade ist. Edit: Absätze eingefügt um überbreiten Post zu vermeiden. LG Iorek
18.05.2015, 09:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Halten wir mal das bisherige fest, du hast ja schon ganz gute Fortschritte gemacht: Du hast bewiesen, dass aus $\begin{align} x^4 \equiv -4\bmod p \end{align}$ folgt, dass es ein $\begin{align} y \end{align}$ gibt mit $\begin{align} y^2\equiv -1\bmod p \end{align}$ (und zwar y=x+1 oder y=x-1, ist nicht so wichtig) - die Umkehrung gilt ebenso: D.h., existiert ein $\begin{align} y \end{align}$ mit $\begin{align} y^2\equiv -1\bmod p \end{align}$ , so folgt $\begin{align} x^4 \equiv -4\bmod p \end{align}$ sowohl für x=y+1 als auch x=y-1 . Damit ist das ganze Problem auf quadratische Kongruenzen zurückgeführt. Jetzt weiß ich nicht, wie weit fortgeschritten da deine Kenntnisse sind - je nachdem ist der weitere Rechenweg kürzer oder länger.
18.05.2015, 09:55	HIMYM	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben ein Satz aus dem die Darstellung von p direkt folgen würde,wegen der Darstellung $\begin{eqnarray} \exists y\in \mathbb Z y^2\equiv -1 (modp) \end{eqnarray}$ .Also wäre die Hinrichtung gezeigt. Mit Äquivalenzpfeilen würde auch die Rückrichtung gezeigt. Ich habe kurz eine Frage zur einer anderen Aufgabe: Ich habe gegeben, dass G eine Gruppe ist mit ord(g) endlich. Z.Z:Für m aus Z gilt: $\begin{eqnarray} g^m=e \end{eqnarray}$ gdw $\begin{eqnarray} m\equiv 0(mod(ord(g)) \end{eqnarray}$ Rückrichtung: $\begin{eqnarray} ord(g)\|m\Rightarrow \exists c\in \mathbb Z : ord(g)c=m\Rightarrow g^m=g^{ord(g)^{c} } =e^c=e \end{eqnarray}$ weil g aus G und ord(g) endlich Hinrichtung: Sei $\begin{eqnarray} g^m=e ,m\in \mathbb Z, ord(g)=\|\left\{g^k\|k\in \mathbb Z\right\} \| \end{eqnarray*}$ Jetzt bin ich mir unsicher ob ich einen Denkfehler habe, ist die ord(g)=1 wegen g^m=e, weil sonst wär die Aussage klar
18.05.2015, 10:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Beweis der Hinrichtung darfst (um nicht zu sagen musst) du nutzen, dass $\begin{align} g^r\neq e \end{align}$ für $\begin{align} 1\leq r < \operatorname{ord}(g) \end{align}$ gilt, das ist essentieller Bestandteil (bzw. Folgerung) der Definition der Elementordnung.

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