Untergruppe Beispiel: Zeige, dass U = {a^k : k ? Z} eine Untergruppe von G bildet.

18.05.2015, 12:51	Quatsch_mit_Sauce	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe Beispiel: Zeige, dass U = {a^k : k ? Z} eine Untergruppe von G bildet. Meine Frage: Hi! Sei $\begin{eqnarray} (G, o) \end{eqnarray}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray} a \in G \end{eqnarray}$ Zeige, dass $\begin{eqnarray} U = \left\{a^{k}: k \in \mathbb Z\right\} \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von G bildet. Meine Ideen: Kriterium einer Untergruppe: 1) Für alle $\begin{eqnarray} a, b \in G \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} o \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in U \end{eqnarray}$ 2) Das neutrale Element $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ von G liegt in U. 3) Zu jedem $\begin{eqnarray} a \in U \end{eqnarray}$ liegt auch das inverse Element $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ in U. Ich habe mir die Kriterien raussuchen müssen, da es nicht in unserem Skriptum steht. Hoffe, die ist richtig. Jetzt mein Ansatz: Es steht nur, dass G eine Verknüpfung hat, aber nicht welche. Kann ich da einfach annehmen, dass es eine Multiplikation ist? 1) =========================== $\begin{eqnarray} k,l\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ Sind $\begin{eqnarray} a^{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^{l} \end{eqnarray}$ zwei Elemente aus U, so auch die Verknüpfung $\begin{eqnarray} a^{k} \cdot a^{l} = a^{k+l} \end{eqnarray}$ Das ist wieder eine Potenz von a, also ist es ein Element von U. 2) =========================== Das neutrale Element $\begin{eqnarray} e = a^{0} \in U \end{eqnarray}$ 3) =========================== Für $\begin{eqnarray} a^{k} \in U \end{eqnarray}$ gibt es das inverse Element $\begin{eqnarray} (a^{k})^{-1} = a^{-k} \end{eqnarray}$ . Das ist auch eine Potenz von a, also ist es ein Element von U. =========================== Ist das ausreichend, oder fehlt noch was?
18.05.2015, 18:43	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus Je nach dem, welchen Stoff ihr gemacht habt, könnte man das Eine oder Andere zwar noch etwas ausführlicher begründen (z.B. die Definition einer Potenz einbauen), aber die Idee ist absolut korrekt. Und: Ja, man kann davon ausgehen, dass G eine multiplikativ geschriebene Gruppe ist. Wäre G additiv geschrieben, so würden die k-ten Potenzen als $\begin{eqnarray} k\cdot a \end{eqnarray}$ geschrieben werden Lg kgV
18.05.2015, 18:47	Quatsch_mit_Sauce	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schön!
18.05.2015, 18:49	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen

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