Stammfunktion in C lösen - Anwendung

18.05.2015, 14:36	PT	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion in C lösen - Anwendung Meine Frage: Hallo zusammen, ich versuche gerade eine Aufgabe aus der Vorlesung zur Funktionentheorie zu verstehen. Es soll gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \int_{- \infty }^{\infty} \! e^{-t^2} cos(2bt) \, dt = \sqrt{\pi} e^{-b^2}, \, b > 0 \end{eqnarray}$ gilt. Die Idee aus der VL geht dabei so: Es wird $\begin{eqnarray} g(x) = e^{-z^2} \end{eqnarray}$ (z ist komplex) über ein Rechteck R integriert. Dieses ist geben durch: $\begin{eqnarray} R_{a,b}= [-a,a,a+ib,-a+ib,-a ] \end{eqnarray}$ Wenn man also an den Kanten des Rechtecks $\begin{eqnarray} R_{a,b} \end{eqnarray}$ entlang geht, so ist diese ein geschlossener Integrationsweg. Da die zu integrierende Funktion g holomorph ist, wäre das Integral über die vier Seiten des Rechtecks also 0. Soweit klar. Das wurd auch in der VL gezeigt, indem die Stammfunktion angegeben wurde. Nun kommt der Teil, den ich theoretisch noch verstehe, die genaue Rechnung/ Abschätzung jedoch nicht verstehe! Es wird jetzt über jede einzelne Seite des Rechtecks integriert, also: $\begin{eqnarray} I_j(a)= \int_{R_{a,b}} e^{-z^2}dz , \, j=1,2,3,4 \end{eqnarray}$ Es werden also die einzelnen Teilintegrale berechnet: $\begin{eqnarray} I_1 (a) = \int_{-a}^{a} e^{-x^2}dx \end{eqnarray}$ Hiervon ist das Integral unbekannt. $\begin{eqnarray} I_2 (a) = \int_{[a,a+ib]} e^{-z^2}dz \end{eqnarray}$ . Dies wird im Betrag abgeschätzt: $\begin{eqnarray} \|I_2(a)\|=\|\int_{[a,a+ib]} e^{-z^2}dz\| \leq be^{b^2-a^2} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ , wenn a gegen Unendlich geht. Die Abschätzung habe ich jetzt ewig und drei Tage versucht nachzuvollziehen. Daher erste Frage: (1) Wieso kann man diese Abschätzung machen? Für das dritte Integral gilt: $\begin{eqnarray} I_3 (a) = - \int_{-a}^{a} e^{-(t+ib)^2}dt = -e^{b^2} \int_{-a}^{a} e^{-t^2} cos(2bt)dt \Rightarrow -e^{b^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} cos(2bt)dt \end{eqnarray}$ . () Mir ist klar, weshalb das Vorzeichen des Integrals "Minus" lauten muss. Die Umrechnung und die Idee habe ich auch verstanden. Das letzte Integral $\begin{eqnarray} I_4(a) \end{eqnarray}$ kann genauso wie $\begin{eqnarray} I_2(a) \end{eqnarray}$ im Betrag abgeschätzt werden. Es gilt also: $\begin{eqnarray} \| I_4(a)\|=\|I_2(a)\| \leq be^{b^2-a^2} \end{eqnarray}$ . Ich stelle mir vor, dass die beiden Teilintegrale über zwei gleichlange, parallele Wege integriert werden und deshalb auch im Betrag gleich abgeschätzt werden können. Aber wie kommt man auf gerade diese Abschätzung??? Als Wissen durfen wir voraussetzen, dass $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx= \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ . Mit () kann man daher schließen: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty }^{\infty} \! e^{-t^2} cos(2bt) \, dt = \sqrt{\pi} e^{-b^2} \end{eqnarray}$ , wenn a in () gegen Unendlich geht. Meine Ideen:* Es gilt $\begin{eqnarray} e^{-(t+ib)^2} \Rightarrow e^{-(a+ib)^2} = e^{-a^2+b^2-i2ab} = e^{b^2-a^2}e^{-i2ab} \end{eqnarray}$ , wenn ich a für t einsetze. Dann müsste für die Gültigkeit der Abschätzung ( $\begin{eqnarray} \|I_2(a)\|=\|\int_{[a,a+ib]} e^{-z^2}dz\| \leq be^{b^2-a^2} \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ , wenn a gegen Unendlich geht) wiederum gelten: $\begin{eqnarray} e^{-i2ab} \leq b \end{eqnarray}$ . Aber wieso gilt das? Und wieso schätze ich das mit b ab? Handelt es sich dabei um eine Abschätzung, die man erst hinschreibt, wenn man weiß, was man braucht? Die Abschätzung mit b also erst im Nachhinein eingefügt wird. Grüße und Dank, PT
18.05.2015, 14:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu (1): Was bedeutet denn eigentlich Integrationsgebiet $\begin{align} [a,a+ib] \end{align}$ genau: Nun, gemeint sind die Werte $\begin{align} z=a+it \end{align}$ für $\begin{align} 0\leq t\leq b \end{align}$ . Für diese $\begin{align} z \end{align}$ gilt $\begin{align} z^2 = a^2-t^2 + 2ait \end{align}$ , und folglich $\begin{align} \left\| e^{-z^2} \right\| = \left\| e^{t^2-a^2-2ait} \right\| = e^{t^2-a^2}\cdot \left\| e^{-2ait} \right\| = e^{t^2-a^2} \leq e^{b^2-a^2} \end{align}$ . Damit sollte dann auch die Integralabschätzung via $\begin{align} \left\| ~ \int\limits_{[a,a+ib]} e^{-z^2} ~ \dd z \right\| \leq \int\limits_{[a,a+ib]} \left\| e^{-z^2} \right\| ~ \|\dd z\| \leq e^{b^2-a^2}\cdot \int\limits_{[a,a+ib]} ~ \|\dd z\| = be^{b^2-a^2} \end{align}$ klar sein.
18.05.2015, 17:36	P1999	Auf diesen Beitrag antworten »
Stammfunktion in C lösen - Anwendung Hallo HAL 9000, besten Dank. Ich hatte die ganze Zeit versucht die Abschätzung aus dem Integral direkt heraus zu verstehen. Aber über die Explikation des Integrationsbereichs und der ersten Abschätzung über die e-Funktion ist es jetzt klar. Besten Dank noch einmal, PT (jetzt: P1999) Willkommen im Matheboard! Dein alter Account PT wird demnächst gelöscht. Steffen

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