Integral zweier Polynome bzw Polynom bestimmen

18.05.2015, 13:48	blau	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral zweier Polynome bzw Polynom bestimmen Grüße! Ich soll ein Polynom p aus P² finden, sodass folgende Gleichung für jedes q aus P² gilt: $\begin{eqnarray} q(1/2) = \int_{-1}^{1} \! p(x)(qx) \, dx \end{eqnarray}$ Es wurde der Hinweis gegeben, p als Linearkombination folgender Funktionen darzustellen: $\begin{eqnarray} v_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}, v_{1} = \sqrt{\frac{3}{2}}x , v_{2} = \sqrt{\frac{5}{2}}(\frac{3}{2}x² - \frac{1}{2}) , \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich schon ein paar Seiten vollgeschrieben, aber komme nicht wirklich auf ein passendes Polynom. Ich bastel mir für die Polynome p(x) und q(x) Linearkombinationen. Der Tipp war, P als Linearkombination der gegebenen Funktionen daruzustellen. Was mache ich dann mit q? Die Gleichung soll ja dann für jedes q gelten. Wäre dies der Fall, wenn ich q(x) folgendermaßen angebe: $\begin{eqnarray} q(x) = \lambda_{1} + \lambda_{2}x + \lambda_{3}x² \end{eqnarray}$ ? Damit kann ich ja schließlich jedes Polynom im P² nachbilden. Allerdings komme ich am Ende auf widersprüchliche Aussagen, wenn ich mir auf diese Art und Weise das Integral ausrechne und einen Koeffizientenvergleich anstelle, um die Koeffizienten des gesuchten Polynoms zu finden. Habt ihr Vorschläge für mich, wie ich da rangehe? Dankeschön!

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