Poissonverteilung: n berechnen?

18.05.2015, 16:20

ascer

Poissonverteilung: n berechnen?

Hallo Community,

ich komme gerade auf keine gescheite Idee, Skript und Dozent sind leider...naja...nicht so doll Augenzwinkern

Folgende Problematik: Gegeben zufällig, voneinander unabhängig ausgesuchte Personen, insgesamt 50. Irgendein Ereignis A, welches genau ist ja egal, tritt mit Wahrscheinlichkeit 0.01, also genau 1%, ein.

Hieße nun eine Aufgabe, z.B., "wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A bei mindestens einer Person zutrifft", dann würde man das ja beispielsweise wie folgt lösen können:

$\begin{eqnarray*} P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{50}{0} * 0.01^0 * (1-0.01)^{50-0} = 1 - 1 * 1 * (0.99)^{50} \approx 1 - 0.61 = 0.39 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe bis dahin schon mal keinen Denkfehler gemacht?^^

Worauf ich aber nicht komme, ist, wie der umgekehrte Fall aussehen würde.
Was würde man also tun, würde die Aufgabenstellung lauten "wie viele Personen muss man auswählen, damit Ereignis A mit min., beispielsweise, 40% Wahrscheinlichkeit eintritt?"

Im Prinzip, mein Gedankengang soweit, müsste man ja die Zähldichte $\begin{eqnarray*} P_{\lambda}(\{k\}) = e^{-\lambda} * \frac{\lambda^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$ umstellen nach k. Aber wie?

18.05.2015, 16:58

gast1805

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RE: Poissonverteilung: n berechnen?
Algebraisch kann man nicht nach k umstellen.

Alternative:

1-(n über 0)*0,01^0*0,99^(n-0) >=0,40

Auch diese Gleichung kann man algebraisch nicht lösen.

Du benötigst also ein numerisches Verfahren.

18.05.2015, 22:03

opi

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RE: Poissonverteilung: n berechnen?

Zitat:

Original von ascer
Im Prinzip, mein Gedankengang soweit, müsste man ja die Zähldichte $\begin{eqnarray*} P_{\lambda}(\{k\}) = e^{-\lambda} * \frac{\lambda^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$ umstellen nach k. Aber wie?

Nein, du mußt nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ umstellen. Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit mit $\begin{eqnarray*} k=0. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von "gast"1805
Alternative:

1-(n über 0)*0,01^0*0,99^(n-0) >=0,40

Auch diese Gleichung kann man algebraisch nicht lösen.

Die Gleichung läßt sich durch Logarithmieren sehr einfach auflösen. $\begin{eqnarray*} \binom n0 \end{eqnarray*}$ stellt kein Problem dar.

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Poissonverteilung: n berechnen?

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