Differenzierbarkeit durch stetige Fortsetzung der Ableitung

18.05.2015, 22:37

Charlie

Differenzierbarkeit durch stetige Fortsetzung der Ableitung

Hallo Leute,

Ich bin grad am grübeln warum ich Differenzierbarkeit zeigen kann, wenn ich folgendes zeige:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jemand ist so nett mir das zu erklären Freude

Was mich hauptsächlich irritiert ist das $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ . Also würde da stehen:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ wäre mir das klar, weil das einfach die Definition ist.

Zunächst einmal die mir bekannte Definition der Differenzierbarkeit:
Eine Funktion f ist differenzierbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \end{eqnarray*}$ existiert. Wir bezeichnen diesen Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ . Also kurz: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}= f'(x_0) \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung fällt mir schwer sauber aufzuschreiben, aber prinzipiell sieht die so aus, dass wenn immer $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$ definitiert ist gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$

Sollte $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$ nicht definitiert sein, also $\begin{eqnarray*} (x - x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ , muss man überprüfen ob $\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist. Das würde dan darauf hinauslaufen, dass wenn ich die Ableitung als funktion auffasse (und nicht wie in meiner Definition oben als einen Grenzwert), ich die dan auch auf stetige Fortsetbarkeit an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ überprüfen muss und dann folgendes bekomme:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

Aber ob das so ganz stimmt, bin ich mir nicht sicher, also kann mir das jemand erklären bzw "sauber" aufschreiben warum das oben gilt?

Vielen Dank schonmal smile

19.05.2015, 01:43

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RE: Differenzierbarkeit durch stetige fortsetzung der Ableitung
Du sollst wohl unter den Bedingungen der Aufgabe zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}f'(x) \end{eqnarray*}$ existiert und gleich a ist, dann existiert auch $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ und hat ebenfalls den Wert a.

Als Startidee (Deine Eierlauf ist eigentlich keine Idee, oder?) bietet sich an:

$\begin{eqnarray*} {f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=f'(\xi) \end{eqnarray*}$

19.05.2015, 11:50

Charlie

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Sorry aber mit der Idee kann ich grad nicht so richtig etwas anfangen, aber ein richtiger Beweis muss auch nicht sein. Mir ist nur nicht ganz klar warum ich

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} f'(x) \end{eqnarray*}$
Und nicht
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$
Schreiben muss

Korrigiert und Folgebeitrag entfernt. (Guppi12)

19.05.2015, 16:18

Charlie

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Okay ich glaub ich habs jetzt beisamen was die Aussage von diesem "Satz" sein soll:

Sei $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ stetig, so gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f'(x)} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ nach Definitionen der Stetigkeit und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ nach Definition der Differenzierbarkeit und für alle stetigen $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ somit: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} = \lim\limits_{x \rightarrow x_0}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

D.h. ich kann damit nicht drauf schließen, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist, weil es auch differenzierbare Funktionen gibt derren Ableitung nicht stetig ist?

Danke noch für das korrigieren und zusammenführen meines vorherigen Beitrags

19.05.2015, 16:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von rg
Du sollst wohl unter den Bedingungen der Aufgabe zeigen: Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}f'(x) \end{eqnarray*}$ existiert und gleich a ist, dann existiert auch $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ und hat ebenfalls den Wert a.

Hmm, wenn man schon nach besten Wissen und Gewissen versucht das aufzuschreiben, sollte man eine kleine, aber wichtige Voraussetzung nicht vergessen:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig sein.

Dieser wichtige Punkt ist von den anderen Voraussetzungen nämlich nicht abgedeckt. unglücklich

19.05.2015, 16:49

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Woher weisst Du das? Mit "unter den Bedingungen der Aufgabe" ist natuerlich das gemeint, was in der nicht wiedergegebenen Originalaufgabe drinsteht. Ich bin sicher, da ist alles beruecksichtigt, auch dass f in einer ganzen Umgebung von x_0 stetig und in einer punktierten differenzierbar sein soll. Aber Details sind mir nicht bekannt, das ist richtig. Aber an sich habe ich die Aufgabe notgedrungen erraten. Vielleicht geht sie ganz anders?

19.05.2015, 17:08

Charlie

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Also einen Aufgabentext dazu gibt es nicht direkt, weil es keine Aufgabe ist die mir gestellt wurde. Ich gebe euch einfach mal den Link der mich auf diese Idee gebracht hat smile

code:
1:	massmatics.de/merkzettel/index.php#!134:Differenzierbarkeit_fuer_Funktionen_mit_einer_Variablen

Es startet bei "Möchte man mit Hilfe der Ableitung prüfen...". Das eben wenn der links- und rechtsseitge Grenzwert existieren, die Funktion differenzierbar ist und dieser Wert sollte, wie ich mir dan gedacht habe, wohl mit dem übereinstimmen, denn ich auch über die Definition der Differenzierbarkeit bekomme.

Tut mir Leid sollte ich das falsch wiedergegeben haben unglücklich

19.05.2015, 18:37

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Aha! Jetzt kommt's raus!

Also ein Gegenbsp. waere offensichtlich die Vorzeichenfkt. Woran liegt's?

20.05.2015, 10:49

Charlie

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$\begin{eqnarray*} f(x) = sign(x) \end{eqnarray*}$ ist unstetig in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , jedoch ist der linksseitige Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ = 0 = rechtsseitiger Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ . Demnach ist dieser "Satz" Quatsch bzw gilt nur für bestimmte Typen von Funktionen?

20.05.2015, 11:00

HAL 9000

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Dann war wohl mein Einwurf doch nicht so unberechtigt, wie rg (zunächst) meinte mir vorwerfen zu müssen. Augenzwinkern

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Um die Sache noch abzurunden, ein Wort zur Umkehrung:

Die Existenz des Grenzwertes $\begin{align*} \lim\limits_{x \to x_0}{f'(x)} \end{align*}$ plus Stetigkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ ist hinreichend für die Differenzierbarkeit in $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ , aber nicht notwendig - dazu verweise ich mal auf das oft zitierte Beispiel

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; x=0 \\ x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

Dieses $\begin{align*} f \end{align*}$ ist auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ differenzierbar, aber die Ableitung im Nullpunkt nicht stetig, genauer: Es ist $\begin{align*} f'(0)=0 \end{align*}$ , und $\begin{align*} \lim\limits_{x \to 0}{f'(x)} \end{align*}$ existiert nicht.

20.05.2015, 14:02

Charlie

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Ok danke euch, ich denke das ist mir jetzt klar geworden Freude

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