Prüfen auf lineare Unabhängigkeit (unterbestimmtes LGS)

19.05.2015, 14:01

junni

Prüfen auf lineare Unabhängigkeit (unterbestimmtes LGS)

Hallo, Leute ich komme mit meinem Problem nicht weiter.

Habe folgende Vektoren die ich auf lineare Unabhängigkeit prüfen soll.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein LGS sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiss ich, dass wenn bei einer quadratischen Matrix eine Nullzeile entsteht, die Vektoren linear abhängig sind.
Wie sieht es aber nun in meinem Fall aus. Ich hätte ja jetzt quasi einen freien Parameter.

Bedanke mich schonmal im Vorraus für eure Hilfe

19.05.2015, 14:12

HAL 9000

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Darf ich mal fragen, woher diese Nullenzeile in deinem ersten LGS denn kommt?

Zunächst sollte da doch eher $\begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$ stehen! verwirrt

Oder hast du da schon erste Umformungsschritte getan? Offenbar.

Wie auch immer: Eine komplette Nullenzeile bedeutet "nichts" an Information, sie kann komplett gestrichen werden. Maßgeblich ist, dass du danach Dreiecksgestalt in der Koeffizientenmatrix hast mit Nicht-Null-Hauptdiagonale - das ergibt eindeutige Lösbarkeit und damit lineare Unabhängigkeit der drei Vektoren.

P.S.: Die "Nullenspalte" ganz rechts kannst du getrost streichen - bei der Lösung eines derartigen homogenen Systems passiert da nichts. Aber wenn es dir hilft, dann schleif sie halt mit. Augenzwinkern

19.05.2015, 14:42

junni

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Zitat:

Original von HAL 9000
Darf ich mal fragen, woher diese Nullenzeile in deinem ersten LGS denn kommt?

Zunächst sollte da doch eher $\begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$ stehen! verwirrt

Oder hast du da schon erste Umformungsschritte getan? Offenbar.

Danke erstmal für die Antwort.

Ne da sollte, $\begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$ stehen. Hab es falsch abgetippt.

Ist es auch möglich die lineare (Un-)abhängigkeit anhand des Ranges und Coranges zu sehen.

Sowie im folgenden:
Lineare Unabhängigkeit
1. Das LGS hat nur die triviale Lösung
2.corang A = 0
3. rang A = n, n = anzahl der Unbekannten

Lineare Abhängigkeit:
1. Das LGS hat nicht-triviale Lösungen
2. corang A > 0
3. rang A < n

In meinem Fall wäre ja, der Corang = 0 und somit würde ich daraus schließen dass es linear Unabhängig ist

19.05.2015, 15:55

HAL 9000

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Zu 2. kann ich nichts sagen, da mir der Begriff corang so nichts sagt.

Aber 1. und 3. sind äquivalent, ja, in beiden Blöcken.

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