gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Markov-Kette

19.05.2015, 16:04

kannkeinmathe123

gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Markov-Kette

Hallo,

ich habe wahrscheinlich ein sehr einfaches Problem. Und zwar habe ich eine Zeitreihe mit Daten. Jeder Datenpunkt stammt einer Mischverteilung mit zwei Normalverteilungen. z.B. Erster Datenpunkt t=1 stammt mit 90% Wahrscheinlichkeit aus Normalverteilung 1 [p(s_t=NV1|gamma) = 0,9] und 10% Wahrscheinlichkeit aus Normalverteilung 2 [p(s_t=NV2|gamma) = 0,1]. (Die Summe der beiden Wkt ergibt stets eins) gamma ist ein Parametervektor, auf dessen Grundlage ich entscheide, aus
welcher Normalverteilung der Datenpunkt wahrscheinlicher stammt.

Ich kenne diese Wahrscheinlichkeiten p(s_t=x|gamma) für alle t. Sagen wir, ich hätte folgende Reihe:

__________t=1 t=2 t=3 ...
p(s_t=NV1) 0,9 0,8 0,9
p(s_t=NV2) 0,1 0,2 0,1

Für die komplette Zeitreihe, also über alle t, kenn ich die Wahrscheinlichkeit (unbedingt), dass zwei NV1 auf einander folgen (0,95) und zwei NV2 (0,8) aufeinander.

Meine Frage ist jedoch, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei mal hintereinander NV1 kommt für jedes einzelne t, also z.B. für t=2 p(s_1=NV1,s_2 = NV1|gamma) und nicht über die komplette Zeitreihe.

Ich hoffe ihr könnt mein Problem verstehen. Danke im Voraus

19.05.2015, 18:22

HAL 9000

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Ich versuch mal zu modellieren, was du da meinst, so wie ich es verstehe: Betrachten wir die 0-1-Zeitreihe $\begin{align*} (X_t)_{t=1,2,\ldots} \end{align*}$ mit der Bedeutung

$\begin{align*} X_t = \begin{cases} 1 & \;\mbox{falls Datenpunkt $s_t$ zu NV1 gehört}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

Dann sind dir deiner Aussage nach die Erwartungswerte $\begin{align*} E(X_t) \end{align*}$ alle bekannt, die entsprechen ja deinem $\begin{align*} P(s_t=NV1) \end{align*}$ .

Das hier

Zitat:

Original von kannkeinmathe123
Für die komplette Zeitreihe, also über alle t, kenn ich die Wahrscheinlichkeit (unbedingt), dass zwei NV1 auf einander folgen (0,95) und zwei NV2 (0,8) aufeinander.

deute ich mal als

$\begin{align*} \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} P(X_t=1,X_{t+1}=1) = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} E(X_tX_{t+1}) = 0.95 \end{align*}$

mit Zeithorizont $\begin{align*} T \end{align*}$ (evtl. auch als Grenzwert $\begin{align*} T\to \infty \end{align*}$ ) sowie dann

$\begin{align*} \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} P(X_t=0,X_{t+1}=0) = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} E((1-X_t)(1-X_{t+1})) = 0.8 \end{align*}$

Aber auf einzelne $\begin{align*} P(X_t=1,X_{t+1}=1) = E(X_tX_{t+1}) \end{align*}$ kannst du damit keine sicheren Rückschlüsse ziehen. Diese Zeitreihe ist offenbar nicht stationär, denn dein $\begin{align*} E(X_t) \end{align*}$ sind ja nicht konstant. Allenfalls unter zusätzlichen Annahmen ist was machbar: Vielleicht dass die Kovarianz $\begin{align*} \operatorname{cov}(X_t,X_{t+1}) \end{align*}$ konstant ist, oder die Autokorrelation $\begin{align*} \operatorname{cor}(X_t,X_{t+1}) \end{align*}$ ?

EDIT: Halt, hab nochmal über die Werte nachgedacht:

Zitat:

Original von kannkeinmathe123
Für die komplette Zeitreihe, also über alle t, kenn ich die Wahrscheinlichkeit (unbedingt), dass zwei NV1 auf einander folgen (0,95) und zwei NV2 (0,8) aufeinander.

Das Ereignis, dass zwei NV1 auf einander folgen ist DISJUNKT zum Ereignis, das zwei NV2 aufeinander folgen - logisch. Damit müsste aber die Wahrscheinlichkeit, dass zwei NV1 auf einander folgen ODER zwei NV2 aufeinander folgen, gleich 0.95+0.8=1.75 sein, offensichtlich Unsinn. unglücklich

Also: Geht es da nicht doch eher um bedingte Wahrscheinlichkeiten? D.h., 0.95 als bedingte Wahrscheinlichkeit, dass auf ein NV1 wieder ein NV1 folgt, und dito 0.8 als bedingte Wahrscheinlichkeit, dass auf ein NV2 wieder ein NV2 folgt!

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