Moore-Penrose-Pseudoinverse Beweis

19.05.2015, 18:22	Faebs94	Auf diesen Beitrag antworten »
Moore-Penrose-Pseudoinverse Beweis Meine Frage: Hey, mein Problem ist, dass ich in keinster Weise eine Ahnung habe, was dieses A\|ker(A) (siehe Bild im Anhang) sein soll. Kann mir vielleicht jemadn exemplarisch für die a erklären, wie ich da ran gehe und was ich da machen soll? [attach]38114[/attach] Meine Ideen: Das einzige was sich mir erschließt (Vorlesung gabs dazu auch nichts wirklich entsprechendes/Hilfreiches) ist, dass A+AA+ = A^-1 P * A * A^-1 P ist, aber das hilft mir auch absolut nichts....
19.05.2015, 18:49	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für eine Funktion $\begin{eqnarray} f: D \to B \end{eqnarray}$ und eine Teilmenge A des Definitionsbereichs D von f bezeichnet $\begin{eqnarray} f\|_A : A \to B \end{eqnarray}$ . Ihr betrachtet hier Matrizen als Abbildungen. Und die erste Identität lässt sich z.B. zeigen, indem man zeigt, dass sie für jeden Vektor gilt.
19.05.2015, 19:57	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg Dir, wieso man überhaupt eine Pseudoinverse einführen soll: Nicht jede Abbildung ist invertierbar. Sowohl Definitions- als auch "Wertebereich" enthalten überflüssige Elemente (im Wertebereich diejenigen, die nicht im Bild liegen, und im Definitionsbereich diejenigen, die zum Kern gehören). Demnach ist es sinnvoll, die Bereiche zu zerlegen gemäß $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n = \ker A \oplus (\ker A)^\perp \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^m = \operatorname{im} A \oplus (\operatorname{im} A)^\perp \end{eqnarray}$ . Die Pseudoinverse wird auf Elemente des Wertebereichs wirken, indem sie den $\begin{eqnarray} (\operatorname{im} A)^\perp \end{eqnarray}$ -Anteil ignoriert und das Urbild auf $\begin{eqnarray} (\ker A)^\perp \end{eqnarray}$ projiziert (das heißt, A wird auf $\begin{eqnarray} (\ker A)^\perp \end{eqnarray}$ eingeschränkt, sodaß die Abbildung injektiv ist, und diese eingeschränkte Abbildung dann invertiert). Wenn Du das verstanden hast, solltest Du mit der Aufgabe keine Probleme haben. Alle Vektoren entsprechend zerlegen.
19.05.2015, 20:19	Faebs94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh... ok, da wird mir schonmal einiges klarer. Vielen Dank dafür schonmal an euch beiden Das heißt dann zum Beispiel bei a, dass wenn ich ja dann einen Vektor mit A+ "abbilde", er zuerst auf jeden Fall mit P_im in die Bildmenge im(A) projeziert wird und anschließend dann durch A^-1_r auf das Komplement des Kerns(A) abgebildet wird. Ein weiteres A bildet das dann wieder auf das Bild ab und das nächste A+ muss es gar nicht mehr erst auf das Bild projezieren (P_im ändert also nichts an dem Vektor) und bringt es wieder zurück ins Komplement vom Kern(A), deshalb ist es das gleiche wie nur A+. Richtig verstanden? Ich hab nur immer das Problem, dass ich sowas einmal gesehen haben muss....... Dürfte ich jetzt grade noch fragen, wie man dann obige Begründung "sinnvoll" aufschreiben kann, sodass es dafür Punkte gibt und das nachvollziehbar ist? Einfach immer sowas wie A+v ist Element vom Komplement vom Kern(A) für alle V und so weiter?
19.05.2015, 20:35	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} x \in K^n \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} P_{Im} (x) \in Im(A) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} A_r^{-1} P_{Im} (x) \in Ker(A) ^\perp \end{eqnarray}$ , damit genügt es bei der a) zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} A^+A \end{eqnarray}$ die Identität auf $\begin{eqnarray} Ker(A)^\perp \end{eqnarray}$ ist... Wenn dir das evtl. besser liegt kann man das auch per kommutativen Diagrammen darstellen. @Jayk: Du bist nach der Rechtschreibreform geboren und schreibst dass mit ß?
19.05.2015, 21:06	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
@Captain_Kirk: Ja, das ist richtig. Wenn Diskussionsbedarf besteht, leg Dir einen Account an und schreib mir per PN. Das, was ich dazu gern sagen würde, paßt einfach nicht in diesen Thread.
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20.05.2015, 21:07	Faebs94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke Ich denke jetzt habe ich es begriffen!!

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