Reguläre Ringe und projektive Dimension

20.05.2015, 11:09

alcardaalanda

Reguläre Ringe und projektive Dimension

Hallo zusammen.

Ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und stecke leider fest. Vielleicht kann ja jemand von euch da ein bisschen Licht ins Dunkel bringen.
Meine Fragen sind fett geschrieben.

Die Aussage lautet wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} (R, \mathfrak m, \mathbb K) \end{eqnarray*}$ ein lokaler Ring. Dann sind äquivalent:

a) $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist regulär.
b) Die globale Dimension von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist gleich der Krulldimension von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$
c) Die projektive Dimension von $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ist endlich.

Die Implikationen a) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ b) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ c) habe ich nachvollziehen können, meine Schwierigkeiten ergeben sich jetzt bei der Implikation
c) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ a).

Der Beweis hierfür erfolgt durch Induktion nach der Anzahl $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ der Erzeuger von $\begin{eqnarray*} \mathfrak m \end{eqnarray*}$ .
Der Induktionsanfang ist klar, denn für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Körper.

Nun zum Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} t-1 \mapsto t \end{eqnarray*}$ :

Man sieht relativ leicht, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak m \notin Ass(R) \end{eqnarray*}$ . Mit Primvermeidung findet man jetzt ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathfrak m \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ weder in $\begin{eqnarray*} \mathfrak m^2 \end{eqnarray*}$ noch in einem assoziierten Primideal von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Jetzt setzen wir $\begin{eqnarray*} S = R/xR \end{eqnarray*}$ und zeigen, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ regulär ist, denn nach einem schon gezeigten Satz folgt dann, dass auch $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ regulär ist.
Nach Induktionsvoraussetzung genügt es dafür zu zeigen, dass der Quotientenkörper von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endliche projektive Dimension hat.

Nun wird behauptet, dass es dafür wiederum reicht zu zeigen, dass das maximale Ideal von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endliche projektive Dimension hat.
Wieso reicht das aus? Ich weiß, dass für einen lokalen Ring $\begin{eqnarray*} pd_R(M) \leq pd_R(\mathbb K) \end{eqnarray*}$ für jeden endlich erzeugten $\begin{eqnarray*} R- \end{eqnarray*}$ Modul gilt. Aber ich sehe nicht, wie ich dann folgern kann, dass aus der endlichen projektiven Dimension des maximalen Ideals von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die endliche proj. Dimension seines Quotientenkörpers folgt.

Weiter im Beweis heißt es:
$\begin{eqnarray*} pd_S(\mathfrak m / x \mathfrak m) \leq \infty \end{eqnarray*}$ . Dies folgt nach einem ebenfalls bewiesenen Lemma. Nun wird die Sequenz

$\begin{eqnarray*} 0 \rightarrow xR/x\mathfrak m \rightarrow \mathfrak m / x \mathfrak m \rightarrow \mathfrak m / xR \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ -Moduln betrachtet.

Man sieht sofort, dass diese Sequenz exakt ist. Nun wird behauptet:
Das Bild von $\begin{eqnarray*} xR / x \mathfrak m \end{eqnarray*}$ unter der natürlichen Surjektion $\begin{eqnarray*} \mathfrak m / x \mathfrak m \twoheadrightarrow \mathfrak m / \mathfrak m^2 \end{eqnarray*}$ ist nicht-trivial aufgrund der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} x \notin \mathfrak m^2 \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} R/ \mathfrak m \cong xR/x \mathfrak m \rightarrow \mathfrak m / \mathfrak m^2 \end{eqnarray*}$ ist eine injektive Abbildung von Vektorräumen, also spaltet die Sequenz und es folgt die Behauptung.

Einerseits frage ich mich jetzt, wie ich sehe, dass die Sequenz spaltet, denn als Definition kenne ich das so, dass es zu der Abbildung $\begin{eqnarray*} f: xR/x\mathfrak m \rightarrow \mathfrak m / x \mathfrak m \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f': \mathfrak m / x \mathfrak m \rightarrow xR/x\mathfrak m \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f'f = id_{xR / x \mathfrak m} \end{eqnarray*}$ und ich kann das aus dieser Beobachtung nicht herauslesen.

Hauptsächlich aber verstehe ich nicht, wieso mir das eine Aussage über die projektive Dimension des maximalen Ideals von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ gibt, da sehe ich irgendwie gar keinen Zusammenhang.

Ich habe mich hierin schon so verbissen, dass ich wohl den Wald vor lauter Bäumen gar nicht mehr sehe. Vielleicht kann mir ja jemand von euch einen Stups in die richtige Richtung geben, das würde mich sehr freuen. smile

20.05.2015, 23:35

Captain Kirk

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Hallo,

aus welchem Buch hast du denn den Beweis?
Ich kann nach der Wiedergabe auch nicht nachvollziehen, warum das maximale Ideal von S betrachtet werden soll, und es allem Anschein danach nicht beachtet wird.

Soweit ich das sehe soll mit dem spaltend nur gezeigt werden, dass IK direkter Summand von m/xm ist und das geht auch direkt: Ist $\begin{eqnarray*} m=(x,b_1,\ldots b_n) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} m/xm = \mathbb K \oplus (b_1, \ldots b_n)/m \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} M=M_1 \oplus \ldots \oplus M_m \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} pd(M)=max \{ pd (M_i) \} \end{eqnarray*}$

21.05.2015, 08:50

alcardaalanda

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Hallo Captain Kirk.

Der Beweis ist aus dem Buch "Twenty-four hours of local cohomology" von einem ganzen Haufen von Autoren.

Ich habe mir jetzt noch einige Gedanken gemacht:
Es soll ja gezeigt werden, dass das maximale Ideal in $\begin{eqnarray*} S = R/xR \end{eqnarray*}$ endliche projektive Dimension hat.
Ist denn nicht $\begin{eqnarray*} \mathfrak m / xR \end{eqnarray*}$ gerade das maximale Ideal in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ?.

Dann hätte ich nämlich, wenn die Sequenz spaltet, dass
$\begin{eqnarray*} \mathfrak m/x \mathfrak m = xR/x \mathfrak m \oplus \mathfrak m / xR \end{eqnarray*}$ .

Da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} pd_S(\mathfrak m / x \mathfrak m) < \infty \end{eqnarray*}$ (sollte schon in meinem Eröffnungspost "echt kleiner" heißen), hätte ich dann wegen
$\begin{eqnarray*} pd_S(\mathfrak m / x \mathfrak m)= max\left\{ pd_S(xR/x \mathfrak m), pd_S(\mathfrak m / xR)\right\} \end{eqnarray*}$ , dass
$\begin{eqnarray*} pd_S(\mathfrak m / xR) \leq pd_S(\mathfrak m / x \mathfrak m) < \infty \end{eqnarray*}$ .

Nun wird ja behauptet, dass das äquivalent sei, dass der Restklassenkörper von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ endliche projektive Dimension hätte (woraus dann nach IV folgt, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ regulär ist und dann auch nach einer bereits gezeigten Aussage, dass $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ regulär ist). Da habe ich ja auch lange überlegt, wieso das gilt, da mir nur die Ungleichung aus meinem ersten post bekannt ist (also dass die projektive Dimension eines jeden endlich erzeugten $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ -Moduls durch die des Restklassenkörpers von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt ist).

Aber kann ich da, wenn ich das maximale Ideal in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ jetzt mal $\begin{eqnarray*} \mathfrak n \end{eqnarray*}$ nenne, nicht einfach über die exakte Sequenz
$\begin{eqnarray*} 0 \rightarrow \mathfrak n \rightarrow S \rightarrow S/ \mathfrak n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
argumentieren und sagen, dass
$\begin{eqnarray*} pd(S/ \mathfrak n) \leq max\left\{pd(S) , pd(\mathfrak n)+1\right\} \end{eqnarray*}$ ? Diese Ungleichung ist mir bekannt, falls alle beteiligten Moduln endlich erzeugt sind.
(insbesondere ist hier $\begin{eqnarray*} pd(S)=0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ projektiv ist)

Dann bliebe für mich wirklich nur noch die Frage, wieso aus den Überlegungen der Autoren folgt, dass die Sequenz spaltet. Da hat mir deine Antwort leider noch nicht ganz das Brett vom Kopf genommen, da ich nicht sehe, dass $\begin{eqnarray*} (b_1,...,b_n) / \mathfrak m \cong \mathfrak m / xR \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß auch gar nicht, ob meine Überlegungen überhaupt Sinn ergeben. Big Laugh

Auf jeden Fall schon mal vielen Dank dir!

21.05.2015, 15:54

Captain Kirk

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Zitat:

Es soll ja gezeigt werden, dass das maximale Ideal

Das lese ich nicht raus, nur dass es äquivalent ist. Und das sieht man ja an der nachfolgenden exakten Sequenz, denn wenn ich mich jetzt nicht ganz irre ist IK auch der Quotientenkörper von S, d.h. es ist $\begin{eqnarray*} m/xm= \mathbb K \oplus m_S \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ist denn nicht $\begin{eqnarray*} \mathfrak m / xR \end{eqnarray*}$ gerade das maximale Ideal in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ?.

Ja.

Zitat:

Da hat mir deine Antwort leider noch nicht ganz das Brett vom Kopf

Da das meine Antwort nicht ansprichst, wie soll sie das auch. Das war ein Alternativweg zum selben Ziel. Spaltende Sequenzen sind nicht so meins.

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