Schnittmenge Offene Kugel mit dem Q^2

20.05.2015, 18:37

Krähe

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Schnittmenge Offene Kugel mit dem Q^2

Meine Frage:
Guten Tag,
dies ist mein erster Beitrag in diesem Forum hier und ich möchte mich schonmal für die Formatierungsfehler entschuldigen.

Die Aufgbe lautet
Sei $\begin{eqnarray*} M= \mathbb Q^2 \cap B_1(0) \subset \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie M, dM, M(quer) etc.

Ich wüsste gerne wie ich im allgemeinen an die Aufgabe heran gehen kann. Die Definitionen sind mir klar, der Q^2 ist die Menge aller (x,y) wobey x,y Element Q und die offene Kugel beschreibt alle x aus R^2 für die gilt: ||x-0|<1

Meine Ideen:
Ich denke, dass ich einfach die Definitionen zusammen schreiben muss also wäre dann $\begin{eqnarray*} M:= {x \in \mathbb Q^2 | ||x||<1} \end{eqnarray*}$ aber so simpel wird es bestimmt nicht sein... Ich hoffe ihr könnt mir helfen

20.05.2015, 18:49

Guppi12

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Hallo und herzlich Willkommen im Forum Wink

Wink

Die Aufgabe, $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu bestimmen halte ich für sehr seltsam, denn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist ja bereits angegeben. Man kann $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auch so schreiben, wie du vorgeschlagen hast. Vielleicht ist das auch gesucht, aber einen Vorteil sehe ich in der anderen Schreibweise nicht.

Eine gute Möglichkeit, sich den Abschluss einer Menge vorzustellen ist, ihn als Menge der Grenzwerte von Folgen zu betrachten, deren Folgenglieder sämtlich in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen. Damit solltest du eine Vorstellung bekommen können, die du danach auf diese Weise auch beweisen kannst. Den Rand würde ich dann indirekt bestimmen. Wenn du das offene Innere und den Abschluss kennst, kennst du auch den Rand. Also sollte man das offene Innere bestimmen. Um welche Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt es denn eine Kugel, die noch ganz in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt?

Edit: Klammern {} schreibt man in Latex übrigens mit \{ \}.

20.05.2015, 19:01

Krähe

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Danke für die schnelle Antwort! ich verstehe deine letzte Frage nicht so wirklich, liegt wahrscheinlich an meiner Vorstellungskraft aber wenn ich ganz nah an den Rand von M gehe kann ich doch einfach die Kugel ( den Radius ) kleiner werden lassen, so dass unendlich viele Kugeln in der Menge M liegen oder ist das quark?

Das innere ist doch einfach die größte noch offene Teilmenge oder?

20.05.2015, 19:05

Guppi12

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Beachte hier, dass die Kugeln bezüglich der Norm von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gebildet werden, da liegen nicht nur rationale Zahlen drin.

20.05.2015, 19:16

Krähe

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ah okay das stimmt! dann wären das die Elemente für die gilt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2} <1 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$

20.05.2015, 19:20

Guppi12

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Was für Elemente wären das jetzt? Welche Teilaufgabe machst du gerade?

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20.05.2015, 19:25

Krähe

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noch mache ich keine Aufgabe, ich hab nur versucht mir die Menge noch besser vorzustellen. Ich versuche jetzt mal mit der Definition $\begin{eqnarray*} M:= \{x \in \mathbb Q^2 | ||x||<1 \} \end{eqnarray*}$ das innere also M° zu bestimmen... kann etwas dauern

20.05.2015, 19:36

Krähe

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also hat doch nicht so lange gedauert, bis ich eine Frage dazu habe. Wie bestimme ich denn die Gesamtmenge aller inneren Punkte? Anschaulich sind es ja die Punkte x , die eine Epsilon Umgebung größer 0 haben, so dass B_epsilon(x) eine Teilmenge von M ist aber das wäre ja nur ein innerer Punkt.

20.05.2015, 19:42

Guppi12

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Die Menge der inneren Punkte ist hier in der Tat nicht sehr groß. Was wäre denn deiner Meinung nach ein innerer Punkt?

20.05.2015, 19:53

Krähe

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naja wenn ich die epsilon Umgebung sehr klein wähle wären doch alle Punkte, die nicht auf dem Rand liegen innere Punkte ? also die oben genannten: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2} <1 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$

20.05.2015, 19:59

Guppi12

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Das wäre doch ganz $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Woher weißt du denn, dass es Punkte gibt, die nicht auf dem Rand liegen? Wir wollen schließlich gerade mit Hilfe des offenen Inneren erst den Rand bestimmen.

Du musst dich fragen: Gibt es ein $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ , sodass eine $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ganz in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt? Schau auch nochmal auf den Tipp, den ich oben gab:

Zitat:

Beachte hier, dass die Kugeln bezüglich der Norm von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gebildet werden, da liegen nicht nur rationale Zahlen drin.

20.05.2015, 20:04

Krähe

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ich mache mir bis morgen Gedanken und lese mir erstmal die Definitionen an und schau ins Skript, dann weiß ich hoffentlich mehr bis hierhin schonmal vieln Dank für die Hilfe!!!

24.05.2015, 12:06

Krähe

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sorry hat etwas länger gedauert aber ich musste arbeiten uni etc. egal aber ich habe mir einen Überblick verschafft und bin mir ziemlich sicher, dss die inneren Punkte gerade die Leere Menge ist, da durch die Distanz immer auch irrationale Zahlen in der Menge liegen und somit sind diese keine Teilmengen der Ursprungsmenge mehr.

24.05.2015, 12:57

Guppi12

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Ja, das ist richtig.

25.05.2015, 19:03

Krähe

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Ich nochmal ich versuche den Beweis zum Abschluss zu führen und es scheitert direkt am Anfang. Darf ich hier 1/n als Nullfolge wählen und warum liegt die Null im Abschluss??? weiter würde ich dann zeigen, dass die Menge $\begin{eqnarray*} A \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

25.05.2015, 19:14

Guppi12

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Was genau ist jetzt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ liegt im Abschluss, weil $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ja schon in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ selbst liegt. Eine Menge ist immer in ihrem Abschluss enthalten. Du kannst für jedes $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ einfach die konstante $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Folge wählen.

Es gibt aber noch mehr, was in $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ drin liegt. Kannst du dir keine Folgen vorstellen, die Folgenglieder in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hat, aber gegen etwas konvergieren, was nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt?

25.05.2015, 19:30

Krähe

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A war verkehrt ich meinte M. Das mit der Null ist mir jetzt klar aber eine Folge, die die gewünschten Eigentschaften hat müsste doch gegen 1 konvergieren. Denn dieser liegt nicht mehr in M.

25.05.2015, 19:33

Guppi12

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Zitat:

Das mit der Null ist mir jetzt klar aber eine Folge, die die gewünschten Eigentschaften hat müsste doch gegen 1 konvergieren. Denn dieser liegt nicht mehr in M.

$\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ (meinst du wohl?) liegt nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , das ist richtig. Wenn du eine Folge angeben kannst, die in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt und gegen $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert, hast du schonmal gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ im Abschluss liegt. Das ist aber nicht alles. Es gibt viel mehr im Abschluss.

25.05.2015, 19:37

Krähe

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Der Abschluss muss doch hier $\begin{eqnarray*} M \cup \{0\} \end{eqnarray*}$ sein.

25.05.2015, 20:27

Guppi12

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Nein, du hast doch grad selbst gesagt, dass z.B. $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ auch noch dazugehört.

$\begin{eqnarray*} M\cup\{0\} = M \end{eqnarray*}$ übrigens, weil $\begin{eqnarray*} 0\in M \end{eqnarray*}$ .

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