Äquivalenzrelation beweisen

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation beweisen
Hallo,

habe folgende Aufgabe gelöst und möchte gerne wissen, ob das ausreicht.
Danke!


Für
definieren wir eine Relation auf durch:

mit

1. Reflexivität:

das heißt es gibt ein , sodass . Genau das gibt es aber auch für .

2. Symmetrisch
. Da und und z weiterhin in sind, gilt das.

3. Transitivität

Das besagt ja das wenn ab gilt und bc dann gilt auch ac.

In meinem Fall wäre das also:

Wenn und gilt, dann auch

Da weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll.

Ich finde es ziemlich schwierig das alles "sauber zu beweisen, da die Beweise ja ziemlich trivial sind, aber da kommt es sicherlich auf einen logischen Aufbau des Beweises an.

Vielleicht könnt ihr mir helfen einen solchen Beweis einmal logisch auszuführen, damit ich das für mein nächstes Beispiel direkt mal anwenden kann.

Danke!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das was du hier schreibst ist inhaltlich völliger Unsinn.
m ist z.B. eine natürliche Zahl, in wie fern soll die Elemente enthalten?

Versuch doch zuerst mal in Worten auszudrücken, was die Definition dieser äquivalenzrelation besagt.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups Tränen Mist. Sorry. dann ist das also eine Relation von auf , weil ist oder? Augenzwinkern

Okay, ich versuche es.

In Worten:

a ist eine Äquivalenzrelation auf b genau dann, wenn es mindestens ein z aus dem Element der ganzen Zahlen gibt, sodass a-b=mz.

Heißt um zu zeigen, dass das stimmt, muss ich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von a-b=mz beweisen.
Ist das erstmal richtig?

Danke! smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Relation von auf , weil ist oder?
Nein. Es gibt keine Relation von irgendwas auf irgendwas.
Es gibt nur Relationen auf irgendwas, hier den ganzen Zahlen.
Ist dir denn überhaupt bewusst was eine Relation ist?

Zitat:
a ist eine Äquivalenzrelation auf b genau dann,

a ist eine Zahl, keine Relation.
Das "Schlangensymbol" wird als "ist äquivalent zu" ausgesprochen.

Zitat:
z aus dem Element der ganzen Zahlen gibt

Entweder: Element der... oder aus den...
nicht zwei Sprechweisen einfach zusammenpanschen.

Zitat:
Reflexivität, Symmetrie und Transitivität von a-b=mz beweisen.

Nein, die der Relation a-b=mz ist eine Gleichung, keine Relation.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nein. Es gibt keine Relation von irgendwas auf irgendwas. Es gibt nur Relationen auf irgendwas, hier den ganzen Zahlen. Ist dir denn überhaupt bewusst was eine Relation ist?


Relation heißt doch, das wir eine Menge haben, in meinem Fall und in dieser Menge Relationen herstellen. Zum Beispiel und haben die Relation Oder?


Zitat:
a ist eine Zahl, keine Relation. Das "Schlangensymbol" wird als "ist äquivalent zu" ausgesprochen.


ah okay. Jetzt macht es auch Sinn.

a ist äquivalent zu b, genau dann, wenn es ein z aus den ganzen Zahlen gibt, sodass gilt a-b=mz.

Also setze ich nochmal an:

Reflexivität heißt für , ,

Heißt, wenn ich mir irgendeine Menge von Zahlen aus den ganzen Zahlen rausnehme, in denen a enthalten ist, so ist das Tupel und somit

Wäre das denn schon ein Beweis? Sorry, ich stelle mich an.. traurig

edit: Dann wäre doch in meinem Fall, wenn ich davon ausgehe das ist, die Gleichung a-b=mz zu schreiben als a-a=mz oder?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Relation heißt doch, das wir eine Menge haben, in meinem Fall und in dieser Menge Relationen herstellen. Zum Beispiel und haben die Relation Oder?
.
Und wie stellt man Relationen her?
Was du hier schreibst ist keine Definition.
Wenn du die Definitionen der Begriffe nicht kennst wirst du dich sehr schwer tun irgendwas mit den Begriffen zu beweisen.

Eine (zweistellige) Relation R auf einer Menge A ist schlicht eine Teilmenge von AxA.

Zitat:
, ,

Wo kommt dieses X her, was soll das sein?

Und das Tupel (a,a) ist sicher keine ganze Zahl.
 
 
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Habe mir die Definition nochmal durchgelesen.
Zum Verständnis:

Wir haben hier die Menge der ganzen Zahlen.

Und es soll eine Relation R geben für die dann gilt:



Und das ist ja nichts anderes als das Kartesische Produkt, das heißt ich kann Tupel bilden die dann Element von dieser Relation R sind. Und dafür kann ich dann auch schreiben

Das würde ja bedeuten, weil ich in meinem Fall b da stehen habe, das m eine Relation ist. Aber macht das denn Sinn, wenn m eine Zahl ist?

Ich glaube ich verstehe die Aufgabe selbst auch nicht..
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich glaube ich verstehe die Aufgabe selbst auch nicht..
Genausowenig, wie du einen Satz nicht verstehen wirst, wenn dir die Worte darin unbekannt unbekannt sind, ist eine Aufgabe ohne Kenntnis der verwendeten Begriffe nicht zu verstehen. Daher ist es immer der erste Schritt bei der Aufgabenbearbeitung das Nachschlagen unbekannter Begrifflichkeiten.

Zitat:
Und es soll eine Relation R geben für die dann gilt:


Das ist eine Tautologie, beide Zeilen besagen exakt das Gleiche.
Und in der Aufgabe ist eine Relation angegeben. Das steht explizit in der Aufgabenstellung.
Jede Teilmenge des kartesischen Produkts AxA ist eine Relation auf A.
Das kart. Produkt ist eine Relation, es gibt aber noch viel, viel mehr Relationen.


Zitat:
Aber macht das denn Sinn, wenn m eine Zahl ist?
Richtig, ergibt keinerlei Sinn.

Schreib dir doch mal für z.B. m=2 einige Elemente der Relation hin.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Genausowenig, wie du einen Satz nicht verstehen wirst, wenn dir die Worte darin unbekannt unbekannt sind, ist eine Aufgabe ohne Kenntnis der verwendeten Begriffe nicht zu verstehen. Daher ist es immer der erste Schritt bei der Aufgabenbearbeitung das Nachschlagen unbekannter Begrifflichkeiten.


Okay. Danke. Werde ich mir zu Herzen nehmen.

Zitat:
Richtig, ergibt keinerlei Sinn. Schreib dir doch mal für z.B. m=2 einige Elemente der Relation hin.


Genau das ist ja das was mich so irritiert. In allen möglichen Definitionen steht, dass

nichts anderes ist als und R ist eine Relation.

Warum steht dann da bei mir in der Aufgabe , wenn m gar keine Relation ist?
edit: heißt das etwa, das diese Relation auf Z nur für verschiedene gegeben ist und zum Beispiel nicht für gilt?


Wenn ich jetzt für m Werte einsetzen müsste, würde ich schreiben:




was in meinen Augen nach Quatsch aussieht. traurig
Und wenn ich es für die Gleichung einsetze hätte ich:





Das sind ja ganz normale Gleichungen, da kann man nicht viel falsch machen.

Aber wie bringe ich das jetzt in Verbindung?

Zum Verständnis:

0<5 wäre doch auch eine Relation oder?
edit: ch meine natürlich
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
In allen möglichen Definitionen steht, dass

Wo steht dass denn überall?
Steht das z.B. so in deinem Skript?


Zitat:
Wenn ich jetzt für m Werte einsetzen müsste, würde ich schreiben:
Glücklicherweise musst du das nicht.

Zitat:
Zum Verständnis:

0<5 wäre doch auch eine Relation oder?

Das ist eine Ungleichung. Eine Relation seh ich hier nirgends.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wo steht dass denn überall? Steht das z.B. so in deinem Skript?


Zum Beispiel im Skript.



Verstehe ich das richtig, dass nicht anderes bedeutet, als, dass diese Relation R auf Z nur für definiert ist und man das verdeutlicht, indem man ein m unter das Äquivalentsymbol schreibt?

Weil dann wäre es Reflexiv, weil zum Beispiel:

und m soll ja aus den natürlichen Zahlen sein, und da gibt es mindestens ein sodass da steht und zwar die 0.

Für Symmetrie hätten wir dann:

und da z auch negative Werte annehmen kann ist das auch möglich und somit symmetrisch.

und für Transitiv:

und dann ist auch

Das lassen wir erstmal weg.

Ist das soweit erstmal richtig oder habe ich mich wieder verlaufen? traurig


Zitat:
Schreib dir doch mal für z.B. m=2 einige Elemente der Relation hin.


a-b=mz für m 2 einsetzen:

Dann hätte ich als Elemente der Relation zum Beispiel:... -10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10...
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zum Beispiel im Skript.

Aber garantiert nicht so wie du es wiedergibst.
Dort steht sicher nicht:
Schreiben wir
Zitat:
a \sim_R b
so ist R eine Relation.
Sondern: Ist R eine Relation, so schreiben wir ...
Du scheinst hier einen massiven Logikfehler zu machen:
Aus A folgt B, heißt nicht, dass aus B auch A folgt.


Zitat:
Verstehe ich das richtig, dass nicht anderes bedeutet, als, dass diese Relation R auf Z nur für definiert ist und man das verdeutlicht, indem man ein m unter das Äquivalentsymbol schreibt?

Jein. Es ist für jedes m eine andere Relation definiert. Für jede dieser Reltionen gilt eine andere Äquivalenz, dass drückt der Index aus.


Die Reflixivität kann man so stehen lassen, bei der Symmetrie: Wieso gibst du nicht das z für an wie bei der Reflexivität?
Und die Transitivität: Lies dir mal genau durch was du geschrieben hast und sag mir dann warum das nicht stimmen kann.

Zitat:
Dann hätte ich als Elemente der Relation zum Beispiel:


traurig Ich dachte das hätten wir hinter uns. Elemente der Relation sind Paare von ganzen Zahlen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
so ist R eine Relation. Sondern: Ist R eine Relation, so schreiben wir ... Du scheinst hier einen massiven Logikfehler zu machen: Aus A folgt B, heißt nicht, dass aus B auch A folgt.


okay. hast recht. Entscheidender Unterschied. Zu spät. egal. Diese Aufgabe kriegen wir noch hin. Morgen lese ich mich dann in Rue nochmal ein mit neuer Energie und dann versuche ich weitere AUfgaben zu dem Thema und wenn ich nicht weiter komme, frage ich hier nach, aber dann mit mehr Vorwissen.
Sorry dafür..


Für die Symmetrie wäre es dann:


Und bei transitiv:

Wenn und dann auch

Wenn und ->

Hatte x mit z vertauscht, aber sonst sollte es vom Aufschrieb doch stimmen oder?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hatte x mit z vertauscht, aber sonst sollte es vom Aufschrieb doch stimmen oder?

Das hatte ich nicht gesehen und das war nicht das eigentliche Problem. Du ignorierst Quantoren.


Addieren wir a-b=mz und b-c=mz, so ergibt sich a-c=2mz, zusammen mit a-c=mz ergibt sich also mz=0.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das hatte ich nicht gesehen und das war nicht das eigentliche Problem. Du ignorierst Quantoren. Addieren wir a-b=mz und b-c=mz, so ergibt sich a-c=2mz, zusammen mit a-c=mz ergibt sich also mz=0.


Was denn für Quantoren?

mit deinem Ansatz kann ich also sagen a-b ist nur 0, da mz=0, wenn b=a und wenn b=a dann ist auch a=c, weil b-c auch gleich 0 ist?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Lies dir doch nochmal die Defintion durch, da steht ein Quantor.

Und das war kein Ansatz, das sollte nur zeigen, dass das was du schriebst absurd ist.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:

mit und mit , dann auch mit

so?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Die z's sind drei verschiedene Objekte.
Sinnvollerweise haben sie dann auch drei verschiedene Bezeichnungen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jefferson1992
Also:

mit und mit , dann auch mit

so?



mit und mit , dann auch mit

dann wieder addieren:



da wieder ein nees z ergeben.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Vor. existieren .
Deine Aufgabe ist es jetzt ein zu finden.

Also es sollte am Schluß also sowas dastehen wie
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht das, was ich gemacht habe?


Danke erstmal.

Ich werde mich jetzt mal hinhauen. Bin am einschlafen.

Werde morgen nochmal in Ruhe schauen.

Danke!!!!
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