Viertelkreis Schwerpunkt

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sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »
Viertelkreis Schwerpunkt
Meine Frage:
schönen guten tag!

ich versuche momentan eine aufgabe zu lösen, allerdings bereitet mir der ansatz allein schon schwierigkeiten unglücklich

Beispiel:

Der Viertelkreis



wird mit der massendichte



belegt. Bestimmen Sie die Masse sowie den Schwerpunkt. Was erhält man für ?

(hoffentlich stimmt das so, ich hab leider keine ahnung von latex..)

Meine Ideen:
also mein erstes problem war die masse. ich hab anfangs nicht ganz verstanden wie man einem 2-dimensionalem objekt (in dem fall eben ein viertelkreis) eine masse zuordnen soll.

aber ich denke mal es handelt sich dann einfach um eine flächendichte? in dem fall:



weiters hab ich mir überlegt, dass es sich um einen einheitskreis handeln muss. ich hab also erstmal alle koordinaten in polarkoordinaten umgewandelt und kam mit r=1 auf:



hier hab ich allerdings sogar selbst probleme zu glauben, dass das stimmen könnte. jedenfalls hab ich das integral durch partielle integration gelöst und kam auf



.. mit den grenzen 0 und pi/2 kommt also 1/3 heraus.

hat jemand eine ahnung, ob das bis hier hin stimmt? ich hab die befürchtung nochmal von vorne anfangen zu müssen :x

wäre toll wenn sich das jemand kurz ansehen könnte.

vielen dank fürs durchlesen und schönen grüße! Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Viertelkreis Schwerpunkt
Zitat:
Original von sonja1711
aber ich denke mal es handelt sich dann einfach um eine flächendichte? in dem fall:



die Flächendichte ist eine Funktion des Ortes ! keine Konstante.

Zitat:

weiters hab ich mir überlegt, dass es sich um einen einheitskreis handeln muss. ich hab also erstmal alle koordinaten in polarkoordinaten umgewandelt und kam mit r=1 auf:


ich würde aus pädagogischen Gründen vorerst mal den Radius als Parameter belassen.

Zitat:


hier hab ich allerdings sogar selbst probleme zu glauben, dass das stimmen könnte.

wie wahr.

Zitat:

wäre toll wenn sich das jemand kurz ansehen könnte.


Das wird bestimmt nicht möglich sein. Es bleibt viel zu tun.

1.) berechne doch erst mal die Fläche des Viertelkreises. (zur Übung )
2.) dann versuchen wir uns an der Masse.
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Viertelkreis Schwerpunkt
vielen dank für die schnelle antwort Big Laugh

also.. viertelkreisfläche:



tut mir leid, ich brauch immer eine weile um das in latex hinzubekommen :x
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, fein !

das mit dem Produkt der Integrale gefällt mir nicht. Die Grenzen könnten auch voneinander abhängig sein.

der Parameter R ist später = 1, aber man erkennt so Potenzen von R, nicht aber von 1

2.) nun soll die Masse m bestimmt werden. Der Viertelkreis ist mit einer Flächendichte an Masse belegt.

jetzt müsste man jedes Flächenelement dA mit der Dichte belegt werden.

Leider haben wir jetzt auf Polarkoordinaten umgestellt, was aber kein Problem sein dürfte:



jetzt brauchst du nur noch einbauen.
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank nochmal!

ich versteh gerade leider nicht ganz was du mit "das mit dem Produkt der Integrale gefällt mir nicht. Die Grenzen könnten auch voneinander abhängig sein." meinst.



das ist jetzt auch das wo ich nicht ganz verstehe wie ich damit umgehen soll. es gilt ja m=rho*A.. allerdings hängen die beide von den selben variablen ab, darf ich da die integrale einfach nacheinander ausrechnen (also erst A und dann rho)? das erscheint mir falsch :x

schöne grüße!
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid, ich hab mich gerade etwas falsch ausgedrückt (und ich kanns nicht editieren)..
ich meinte: ich habe ein integral über A aber rho hängt von den selben variablen ab.. wärs dann nicht falsch wenn ich zuerst A berechne und DANACH erst rho "dazu nehme"?
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das halte ich eben für gefährlich, werde selbst mal nachfragen müssen Augenzwinkern



das wird nun mit rho multipliziert

In meiner Schreibweise:



kann man noch schöner schreiben.
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für deine zeit/hilfe!

okay, also damit komme ich nun auf:



nun hab ich das hintere integral mit partieller integration gelöst und kam auf:

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sehr gepflegt Freude

Nun zündet die Dritte Stufe:

Wir benötigen das "Drehmoment" bezüglich einer Drehung um die x-Achse.

Dazu wird jedes Massenelement dm mit dem Abstand zur x_Achse multipliziert.

Der Abstand ist y. jetzt wieder "polarmässig" einbauen!


Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe gerade nicht, wie ich die gleichung aufbauen soll :x

wenn ich die masse-elemente ansehe ist y immer anders. bzw. da wir polarkoordinaten verwenden sind weder r noch phi konstant. wie setzt sich die gleichung dann zusammen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt schwächelst du aber !

der Integrand = dm wird einfach mit

y=r*sin(phi) multipliziert. Ja, so einfach ist das.
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

sieht fast so aus unglücklich

dann hab ich also Dx=r*sin(phi)*dm..?
und vermutlich Dy=r*cos(phi)*dm

dass im drehmoment um die x-achse y als abstand vorkommt ist mir noch klar, umgekehrt genauso.. aber das mit dem dm irritiert mich gerade ein wenig
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sonja1711
vielen dank für deine zeit/hilfe!

okay, also damit komme ich nun auf:





kannst du das nicht wie vorher bei dm= rho * dA einfach mit r sin (phi) multiplizieren. ?
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh... okay, okay.. tut mir leid, ich hab nicht ganz verstanden was ich mit dem dm anfangen soll, dass das genau der inhalt von dem obigen integral ist hab ich nicht bemerkt :x



wieder partielle integration und dann kommt R^5/15 heraus.



ebenfalls partielle integration und es kommt ..ebenfalls R^5/15 heraus.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja , so stimmt es. Aus Symmetriegründen war das zu erwarten.

4.)

Es gilt

so, das war es smile

Nach deinem Eingangsthread hatte ich doch einige Skepsis. Ich hotffe, genau die passende Hilfe gegeben zu haben damit der Thread ins Laufen kommt, was auch mMn gelungen ist.
Du hast aber fein mitgearbeitet Freude

Also: so eine Aufgabe erledigt man nicht - im Normalfall -mit einem Ansatz. Wichtig ist das Verständnis dafür, was eigentlich passiert.

Natürlich gibt es Tricks und Vereinfachungen, aber das ist nicht das direkte Lernziel.

z.b. http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisch...ischen_Objekten

deine Aufgabe hatte aber das "Problem" mit nichtkonstanter Dichte. Wink
Sonja1711 Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal vielen, vielen (vielen!) dank!

das hat dir vermutlich eine menge nerven gekostet, tut mir leid unglücklich

Zitat:
Original von Dopap
Nach deinem Eingangsthread hatte ich doch einige Skepsis. Ich hotffe, genau die passende Hilfe gegeben zu haben damit der Thread ins Laufen kommt, was auch mMn gelungen ist.


ist es!! dankeschön Big Laugh

ich wünsche dir noch einen schönen abend, und nochmals.. danke! das hat echt geholfen!
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sonja1711

das hat dir vermutlich eine menge nerven gekostet, tut mir leid unglücklich



ganz und gar nicht ! Da hatte ich schon ganz andere Threads. unglücklich

Es war überaus unterhaltsam! Und ein solches Lob(!) ist einfach Balsam für unentgeltliche Hilfe.

Wünsche dir eine gute Zeit smile
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