Differentialgleichungen 1. Ordnung AWA

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20.05.2015, 20:19	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen 1. Ordnung AWA Hallo Leute, habe hier 2 Aufgaben zu Differentialgleichungen (anfangswertaufgabe)bei denen ich nicht weiterkomme, da ich noch frisch in diesem Gebiet bin. Wäre super wenn ihr mir helfen könnt: $\begin{eqnarray} y=x(1-x)y' + x^{2} + 1 <br /> y(2)=5 <br /> <br /> <br /> y=x(1-x)y' <br /> <br /> \frac{y'}{y} =\frac{1}{x(1-x)} <br /> <br /> ln(y(x)) = -ln(\frac{1-x}{x} + C)<br /> <br /> y(x)=C(x)(-\frac{1-x}{x}) \end{eqnarray}$ So das war die homogene Variante. Dann kommt die inhomogene, wobei ich da nicht mehr weiterkomme: $\begin{eqnarray} y'(x)=C'(x)(-\frac{x}{1-x}) + C(x)(-\frac{1}{1-x} - \frac{x}{(1-x)^{2} } ) \end{eqnarray}$ Doch wenn ich das in die Anfangsgleichung einsetze, dann kommt nur Müll raus. Ich denke mal ich habe falsch abgeleitet oder so. Die 2. Anfangswertaufgabe die ich lösen soll ist diese hier: xy'+(y+1)lnx = 0 y(1)=1 -xy'=(y+1)lnx y' = $\begin{eqnarray} -\frac{(y+1)lnx}{x} \end{eqnarray*}$ wobei ich hier nicht mehr weiterkomme. Die ist auch eigentlich nicht so schwer, da sie ja nur homogen ist. Ich bekomme aber nicht die y'/y sodass ich mit dem Logarithmus integrieren kann. Beste Grüße, Clemens
20.05.2015, 20:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung AWA zu2) $\begin{eqnarray} y'=\frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ Du mußt y auf die eine Seite und x auf die andere Seite bringen. Dann kommst Du auf: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{-y-1} =\frac{ln(x)}{x} dx \end{eqnarray}$
20.05.2015, 21:22	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung AWA Danke für deine Antwort Wie soll ich in diesem Falle die linke Seite integrieren? Ich finde dazu keine passende Formel..
20.05.2015, 21:42	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen 1. Ordnung AWA Substituiere $\begin{eqnarray} z=-y-1 \end{eqnarray}$ Zu1) das geht so nicht. Du mußt diese Gleichung auf folgende Struktur bringen: $\begin{eqnarray} y'+a(x)y=b(x) \end{eqnarray}$ Dann solltest Du auf folg. Gleichung kommen: $\begin{eqnarray} y' -\frac{y}{x-x^2} =- \frac{x^2+1}{x-x^2} \end{eqnarray*}$ Jetzt berechnest Du die hom. Gleichung, d.h der linke Teil =0
28.05.2015, 14:27	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
So die erste Aufgabe konnte ich lösen. Bei der 2. bin ich mir noch unsicher. Die 2. Aufgabe ist doch nur homogen oder? Da jedes x mit einem y steht. Das heißt ich brauche gar keine inhomogene Lösung zu berechnen? $\begin{eqnarray} e^{z} = e^{\frac{1}{2} (lnx)^{2} + C} <br /> y = C * x^{\frac{1}{2}* lnx } - 1<br /> \end{eqnarray*}$ Nur bin ich mir unsicher wie ich den Logarithmus aus der Potenz bekomme, da er ja im Quadrat steht. Und warum verschwindet die Integrationskonstante auf der linken Seite, müsste sie nicht als Faktor dazukommen?
28.05.2015, 17:20	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt ich brauche gar keine inhomogene Lösung zu berechnen? -<stimmt , ist bei Trennung der Variablen nicht nötig. Man rechnet immer mit nur einer Integrationskonstanten. Dabei fässt man die Kontante von beiden Seiten zu einer zusammen. Ich habe nach der Integration folgendes erhalten? $\begin{eqnarray} -ln\| -y-1\|= \frac{1}{2} ln^2(x) +C \end{eqnarray}$ Hast Du das auch erhalten?
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28.05.2015, 18:53	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} ln\|y+1\| = - \frac{(lnx)^{2}}{2} + C \end{eqnarray}$ Das habe ich erhalten. Hast du ja eigentlich auch, da der Betrag ja nie negativ sein kann? Danach habe ich mit Euler potenziert. Doch ich komme nicht klar wie ich den Logarithmus im Quadrat auseinander nehmen soll. z = y + 1
28.05.2015, 19:11	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du ja eigentlich auch, ----->ja, ist das Gleiche dann folgt weiter: (e hoch) $\begin{eqnarray} y+1= e^{\frac{-1}{2}ln^2(x) +C } \end{eqnarray}$ dann subtrahierst Du 1 und setzt $\begin{eqnarray} e^{C}=C \end{eqnarray}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray} y= C* e^{\frac{-1}{2}ln^2(x) } -1 \end{eqnarray}$ Du brauchst hier nichts weiter zu vereinfachen.
28.05.2015, 22:11	Skorab	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut dann habe ich das jetzt. Vielen Dank!

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