Geradengleichung

01.06.2015, 12:12

John Neutron

Meine Frage:
Gegeben sind die zwei Punkte A(-2/0) und B(2/3). Die beiden Punkte bestimmen eine Gerade g in der xy-Ebene.

a) Geben Sie einen Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ von g an. Wie lautet damit eine Punkt-Richtungsform von g?
b) Geben Sie irgendeinen Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ von g an.
c) Geben Sie mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ eine implizite Geradengleichung von g an.
d) Gewinnen Sie daraus die Hesse-Normalform von g.

Meine Ideen:
a) $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{r} (\lambda) = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \vec{u} * \vec{n} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x + 3y = 0 \end{eqnarray*}$
z.B. $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \vec{n} *\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 3x - 4y = 0 \end{eqnarray*}$
d) keine Ahnung smile

Brauche Eure Hilfe.
Stimmt das was ich bis jetzt gerechnet habe? Wie funktioniert das bei der Aufgabe d?
Danke im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen
John

Edit Equester: Latex korrigiert
Edit Steffen: Bisherige Beiträge gelöscht, da Frage neu gestellt wurde

01.06.2015, 15:30

Ploki

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Hallo John Neutron!

a.) und b.) passen.

c.) ist falsch. Das ist schnell zu erkennen wenn du zb. den Punkt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ einsetzt.

Die Normalenform einer Geradengleichung sieht so aus: $\begin{eqnarray*} (\vec x - \vec p) \cdot \vec n = 0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ ein Stützvektor ist.

d.) Die Hessesche Normalform lautet: $\begin{eqnarray*} x \cdot \vec n_{0} = d \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec n_{0} \end{eqnarray*}$ der normierte Normalvektor ist, dh. $\begin{eqnarray*} |n_0|=1 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ist der Normal-Abstand der Geraden zum Urpsrung.

lg Ploki

03.06.2015, 10:33

John Neutron

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zu c) ist die implizite Geradengleichung nicht ax + by + c = 0

03.06.2015, 11:56

mrdo87

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zu c)
ja, das kann man so schreiben. Aber c ist in diesem Fall eben nicht Null.

2 Möglichkeiten:

1. Ansatz wählen, wie von Loki beschrieben
$\begin{eqnarray*} (\vec x - \vec p) \cdot \vec n=0 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ wie gesagt ein Stütz-/Ortsvektor ist. Also ein Punkt auf g (in deinem Fall A oder B). Dann nur die Klammer mit Hilfe des Skalarproduktes ausmultiplizieren

2. passt eher zu deinem Ansatz:
du hast geschrieben: ax+ by +c =0 und offensichtlich erkannt, dass die Wahl a=3 und b=-4 zielführend ist. Aber dann musst du c in der Gleichung stehen lassen und einen Punkt auf g (A oder B) in die Gleichung einsetzten, um noch c zu bestimmen.

So und so: Das Problem war, dass du nur die Richtung/Steigung der Geraden definiert hast. Dir fehlt quasi ein "Startpunkt". Deine Gerade 3x -4 y=0 hat zwar die richtige Steigung, verläuft allerdings einfach durch den Ursprung

03.06.2015, 12:07

John Neutron

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ah.. ok stimmt
hab jetzt also noch in meine unvollständige Geradengeleichung noch A eingesetzt und nach c aufgelöst:
3x - 4y + 6 = 0.

so jetzt muss ich nur noch auf die Hesse-Normalform von g kommen:
$\begin{eqnarray*} x*cos\alpha + y*sin\alpha = p \end{eqnarray*}$

03.06.2015, 12:41

John Neutron

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ich hab jetzt .. 0,8x - 0,6y = 1,2 ... stimmt das?

03.06.2015, 13:18

mrdo87

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sieht auf den ersten Blick FAST richtig aus. Aber setz doch einfach mal einen Punkt als Kontrolle ein, z.B. B(-2/0). Das führt zu $\begin{eqnarray*} -1,6=1,2 \end{eqnarray*}$ , stimmt also offensichtlich nicht..

Habt ihr das in dieser Form gelernt? Kenne ich so nicht, aber theoretisch sollte der Ausdruck $\begin{eqnarray*} x\cdot cos(\alpha)+ y\cdot sin(\alpha) = p \end{eqnarray*}$ stimmen. Aber damit dir das was bringt, musst du ja erst mal $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ herausfinden.

Wie auch immer, geh lieber so an die Aufgabe ran:
Die Hessesche Normalform ist im Prinzip genau die selbe Form, wie in Teil c). Wichtig ist nur: $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ muss normiert sein, also die Länge 1 haben. Sprich: du musst deinen Normalenvektor anpassen. Hierfür die Länge von dem Normalenvektor ausrechnen und den Normalenvektor anschließend durch diese Länge teilen. $\begin{eqnarray*} \vec n _{normiert}=\frac{\vec n}{|\vec n|} \end{eqnarray*}$

Mit dem gewonnenen "Normaleneinheitsvektor" wie vorher weiter machen Freude

03.06.2015, 14:17

mYthos

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Die mit Winkelfunktionen beschriebene Normalform nennt man die trigonometrische Form der HNF.
Sie ist zwar interessant, wird aber - im Hinblick auf die Vektorgeometrie - kaum noch verwendet.
Im Board gab es einmal ein Thema, worin dies erörtert wurde (Punkt 2 und 3):
-->
Analytische Geometrie

mY+

03.06.2015, 16:08

John Neutron

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ich hab jetzt meinen $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ normiert $\begin{eqnarray*} \vec{n_{0}} = \frac{1}{5}*\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.06.2015, 16:35

John Neutron

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ist das (letzter Beitrag von mir) richtig so?

ist es schneller wenn ich mit dieser formel arbeite: $\begin{eqnarray*} x*\vec{n_{0}} = d \end{eqnarray*}$ ?

04.06.2015, 00:53

mYthos

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Die trigonometrische Form mag ihre Vorteile hinsichtlich der Eindeutigkeit des Winkels der Normalen (durch den Nullpunkt) haben, jedoch mit den Mitteln der Vektorgeometrie geschieht die Abstandsbestimmung wesentlich schneller und einfacher, es ist in einer einzigen Zeile erledigt.

P ist der Punkt, dessen Abstand von g zu bestimmen ist, A ein beliebiger Punkt auf g.
Der Normalabstand d = P,g ist die Projektion des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec {AP} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec n_0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \vec n_0 \end{eqnarray*}$ die Länge 1 hat, ist d direkt gleich dem Skalarprodukt

$\begin{eqnarray*} (1) \ d = (\vec p - \vec a) \cdot \vec n_0 \end{eqnarray*}$

Kennt man also einen Punkt A der Geraden und deren Normalvektor, so kann der Normalabstand des Punktes P von g direkt nach der obigen Formel bestimmt werden, damit ist man sofort fertig und die HNF (Hesse'sche Normalform) ist nicht erforderlich.

---------------

Nur wenn kein Punkt auf der Geraden bekannt ist bzw. man keinen bestimmen will, wird die HNF aufgestellt

Die HNF der Geraden lautet $\begin{eqnarray*} \vec n_0 \cdot \vec x = d_0 \end{eqnarray*}$ , diese Gleichung ist aus der ursprünglichen Geradengleichung $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec x = d \end{eqnarray*}$ mittels Division durch den Betrag des Normalvektors entstanden.
$\begin{eqnarray*} d_0 \end{eqnarray*}$ ist eine Konstante, die sich nicht ändert, also für alle Punkte der Geraden gleich bleibt.
Deswegen gilt auch

$\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \vec n_0 = \vec a \cdot \vec n_0 \ (= d_0 ) \end{eqnarray*}$ , für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} A \in g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\vec x - \vec a) \cdot \vec n_0 = 0 \ .. \ \text{HNF} \end{eqnarray*}$

Darin ist nun $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ definitionsgemäß [ laut Gleichung (1) ] durch $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ zu ersetzen, um den Abstand d = P,g zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} (\vec p - \vec a) \cdot \vec n_0 = d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ \vec p \cdot \vec n_0 - d_0 = d \end{eqnarray*}$

In den Formeln wurden die Terme für den Abstand bewusst nicht in Betragszeichen gesetzt, weil das Vorzeichen Auskunft darüber geben kann, ob Punkt und Nullpunkt auf derselben Seite oder auf entgegengesetzen Seiten der Geraden liegen.
Wenn diese Information nicht von Belang ist, so sind die Terme für d in Betragszeichen zu setzen.

mY+

04.06.2015, 17:09

mrdo87

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Zitat:

Original von John Neutron
ist das (letzter Beitrag von mir) richtig so?

Zitat:

Original von John Neutron
ist es schneller wenn ich mit dieser formel arbeite: $\begin{eqnarray*} x*\vec{n_{0}} = d \end{eqnarray*}$ ?

jain. Auf diese Form musst du kommen. Aber du hast es ja fast.

08.06.2015, 12:54

John Neutron

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also geht das auch so...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} * [\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} ] \end{eqnarray*}$

08.06.2015, 14:22

mrdo87

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Zitat:

Original von John Neutron
also geht das auch so...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5}*\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} * [\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} ] \end{eqnarray*}$

Woher kommt der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Scheint dein Richtungsvektor von vorher zu sein. Der macht da wenig Sinn. Und zur Zeit ist das auch keine Gleichung. Nochmal die allgemeine Normalenform:

$\begin{eqnarray*} (\vec x -\vec p)\cdot \vec n =0 \end{eqnarray*}$

Hier ist $\begin{eqnarray*} \vec p \end{eqnarray*}$ wie gesagt ein Stütz/Ortsvektor. Also z.B. der Ortsvektor von dem gegebenen Punkt A oder B. Soweit genau das Gleiche, wie in Aufgabenteil c)

Für $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ setzt du jetzt deinen normierten Normalenvektor ein.

$\begin{eqnarray*} \left[\vec x - \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}\right]\cdot \frac 1 5 \begin{pmatrix} 3 \\-4\end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Das sieht dem Ausdruck von dir ja schon ähnlich. Jetzt noch ein bisschen Klammer Auflösen und so:

$\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \begin{pmatrix} 3/5 \\ -4/5 \end{pmatrix}=-\frac 6 5 \end{eqnarray*}$

So kenne ich die hessche Normalenform. Theoretisch kann man das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec x \cdot \begin{pmatrix} 3/5 \\ -4/5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auch noch auflösen:
$\begin{eqnarray*} \frac 3 5 x - \frac 4 5 y=-\frac6 5 \end{eqnarray*}$

Das kommt deiner Variante vom 3.6 um 12:41h sehr nahe

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