Berechnen einer Funktion in Richtung des Ortsvektors

21.05.2015, 13:22

DrHWI

Berechnen einer Funktion in Richtung des Ortsvektors

Meine Frage:
Hallihallo,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} u=(\frac{x^2}{a^2})+(\frac{y^2}{b^2})+(\frac{z^2}{c^2}) \end{eqnarray*}$ .
Man berechne $\begin{eqnarray*} grad(u) \end{eqnarray*}$ für den Punkt $\begin{eqnarray*} P_1(a;b;c) \end{eqnarray*}$ . Man berechne dann die Ableitung der gegebenen Funktion u nach der Richtung des Ortsvektors im Punkt $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also nachdem ich grad(u) berechnet habe
$\begin{eqnarray*} \nabla u = \begin{pmatrix} \frac{2}{a} \\ \frac{2}{b} \\ \frac{2}{c} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weiß ich nun also nicht, was ich machen soll. Also mein ganzes Problem besteht leider schon darin, dass ich anscheinend die Aufgabenstellung nicht verstehe. Was ist meine Aufgabe? unglücklich

Das Wegintegral bestimmen? Das wäre das einzig Plausible, was ich mit dieser Art der Formulierung in Verbindung bringen könnte...

Wäre dankbar für ein bisschen Hilfe.

21.05.2015, 14:44

10001000Nick1

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Es geht um die Richtungsableitung.

21.05.2015, 18:13

Dopap

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RE: Berechnen einer Funktion in Richtung des Ortsvektors

Zitat:

Original von DrHWI

$\begin{eqnarray*} \nabla u = \begin{pmatrix} 2/a \\ 2/b \\ 2/c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist die Richtung des stärksten Anstiegs von u im Punkt P1 (*). Der Betrag davon ist ein Maß für den Anstieg.
Jetzt geht es aber nicht in diese Richtung, sondern in die Richtung [a,b,c] d.h. der Ortsvektor von P1 wird "nach P1 verschoben".
Würde man eine Richtung wählen die senkrecht zum Gradienten steht, dann wäre der Anstieg Null, so, wie wenn man auf einer Höhenlinie Dieser folgt.

Um das Maß des Anstiegs zu bestimmen ist es notwendig, dass der Richtungsvektor den Betrag 1 hat.

Der Anstieg ist das Skalarprodukt aus Einheitsrichtungsvektor und dem Gradienten.

(*) der Begriff "Stelle" wäre genauer, da P1 ein Element des Definitionsbereiches ist.

22.05.2015, 14:31

DrHWI

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Okay... also muss ich zuerst nach P1 verschieben? verwirrt

Oder gleich als Voraussetzung sagen, der Betrag meines Richtungsvektors muss 1 sein?
Ich bin mir nicht sicher, wie ich an die Aufgabe herangehen soll...

22.05.2015, 14:42

Dopap

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"verschieben" ist nur zur bildlichen Vorstellung da. Einen Vektor kann man nicht verschieben.

Zitat:

Original von Dopap

Um das Maß des Anstiegs zu bestimmen ist es notwendig, dass der Richtungsvektor den Betrag 1 hat.

Der Anstieg ist das Skalarprodukt aus Einheitsrichtungsvektor und dem Gradienten.

jetzt bring den Richtungsvektor (a,b,c)^T mal auf Betrag 1

22.05.2015, 15:10

DrHWI

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Ich glaube, die große Erleuchtung hat mich bisher noch verfehlt. Hammer

Also mein Richtungsvektor würde 1 werden, wenn ich $\begin{eqnarray*} a=b=c=\sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ setzen würde? verwirrt

22.05.2015, 17:58

DrHWI

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Ah...Moment... meinst Du, ich muss ihn normieren?

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}*\begin{pmatrix} a \\ b \\c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

22.05.2015, 18:25

DrHWI

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Ich hab es! Mit dem normierten Vektor

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}*\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ergibt sich dann
$\begin{eqnarray*} u_{\vec{P_1}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}*\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 2/a \\ 2/b \\ 2/c \end{pmatrix} =\frac{6}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*}$ ! smile

Vielen, vielen Dank für die gute Hilfe! Gott

22.05.2015, 19:03

Dopap

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genau! Manchmal ist es das Beste, mal gar nix zu sagen Wink

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