Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt

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21.05.2015, 19:03	möchtegern15	Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Meine Frage: Also hier im Anhang seht ihr die Aufgabe. Was ich unbedingt brauche ist zunächst einen Denkanstoß, weil ich einfach nicht weiß wie ich daran gehen soll.. Meine Ideen: Also ich habe mir die Definition von Kompaktheit angeguckt, dass für alle offenen Überdeckungen von A eine Teilüberdeckung existieren muss.. Also sehe ich da meine Voraussetzung und das, was zu zeigen ist.. aber ich komme einfach nicht weiter.
21.05.2015, 21:02	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Du hast doch nur endlich viele $\begin{align} A_i \end{align}$ . Wenn du jetzt für jedes $\begin{align} A_i \end{align}$ eine endliche Überdeckung hast, wie ist es dann für die Vereinigung und den Durchschnitt endlich vieler $\begin{align} A_i \end{align}$ ? Im zweiten Teil kannst du ein einfaches Gegenbeispiel für die unendliche Vereinigung angeben. Nimm dazu $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ mit euklidischer Metrik.
22.05.2015, 22:51	möchtegern15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Hmm, ist es so, dass diese Teilüberdeckungen auch kompakt sind?Und dann könnte man ja sagen, dass die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen wieder kompakt ist.
23.05.2015, 00:44	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Die Überdeckung geschieht durch offene Teilmengen. Was ist denn eine endliche Vereinigung einer endlichen Zahl von offenen Mengen?
23.05.2015, 14:36	möchtegern15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Also die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder offen... aber wie hilft mir das weiter?
23.05.2015, 17:22	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt In Worten: Wenn man von endlich vielen Vereinigungen von offenen Mengen, die jeweils eine endliche Überdeckung einer kompakten Menge bilden, wiederum die Vereinigung bildet, dann ist die Vereinigung aller dieser Mengen auch eine endliche Überdeckung der Vereinigung der endlich vielen kompakten Mengen. Symbolisch: Seien die $\begin{align} A_k,1\le k\le n \end{align}$ kompakte Mengen, d.h. zu jeder Überdeckung durch offene Mengen gibt es eine endliche Teilmenge dieser Mengen, die ebenfalls eine Überdeckung bilden: $\begin{align} A_k\subset \bigcup_{i\in I_k}O_{i,k} \end{align}$ mit jeweils endlichen Indexmengen $\begin{align} I_k \end{align}$ , dann ist die Vereinigung dieser kompakten Mengen $\begin{align} \bigcup_{k=1}^n A_k\subset \bigcup_{k=1}^n \bigcup_{i\in I_k}O_{i,k} \end{align}$ ebenfalls kompakt, da auf der rechten Seite wiederum eine endliche Vereinigung von offenen Mengen steht.
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26.05.2015, 00:33	möchtegern15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Und wie mache ich das mit dem Gegenbeispiel. Es gibt für X=Reelle Zahlen keine Teilüberdeckung, wenn ich das mit den Überdeckungen richtig verstanden habe.... oder? Aber dann muss ich ja trotzdem kompakte Mengen angeben, könnte ich zb sagen A_k=[-k,k]? Und wie würde ich dann da noch die euklidische Metrik einbinden?
26.05.2015, 01:26	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Gegenbeispiel für eine unendliche Vereinigung kompakter Teilmengen, die nicht kompakt ist? Wie wär's mit $\begin{align} \bigcup_{n\in\mathbb N}[0,1-\frac 1 n] \end{align}$ . Ist das kompakt?
26.05.2015, 09:09	möchtegern15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Nee, weil die Vereinigung ja offen ist, oder..? Und der Schnitt ist es mit dem Beispiel doch auch, oder? Und noch zur Kompaktheit, weil ich noch nicht so ganz mit der Vorstellung klar komme. Die reellen Zahlen sind doch nicht kompakt, oder? Weil es ja keine endliche Teilüberdeckung von offenen Überdeckungen gibt..... LG
26.05.2015, 10:07	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Jein, offen ist die Menge nicht. Aber auch nicht abgeschlossen, damit auch nicht kompakt. Über den Schnitt solltest du nochmal nachdenken. $\begin{align} \mathbb R \end{align}$ ist natürlich nicht kompakt, da man die Menge zwar durch $\begin{align} \epsilon \end{align}$ -Kugeln überdecken kann (offene Intervalle der Länge $\begin{align} 2\epsilon \end{align}$ ) aber bestimmt nicht durch endlich viele davon.
26.05.2015, 20:22	möchtegern15	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung/Schnitt kompakter Teilmengen einer Metrik wieder Kompakt Und eine Frage... um das Gegenbeispiel jetzt zu verwenden, muss man doch zeigen, dass für alle vorgegebenen offenen Überdeckungen eine endliche Teilüberdeckung existiert, die A_k=[0, 1-(1/k)] überdeckt. Wie zeigt man das jetzt? Und dieses Beispiel ist dann nur nicht kompakt für die Vereinigung von A_k, oder? Weil für den Schnitt wäre ja nur noch Null enthalten, was ja wieder kompakt wäre.

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