[Integral] Aufgabe

21.05.2015, 19:25

John Neutron

[Integral] Aufgabe

Meine Frage:
Beweisen Sie durch eigene, möglichst einfache Rechnung folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2}{a^2+x^2} \, dx = x - a*arctan\frac{x}{a} + C \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Subsitution:
$\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u}{a^2+u} \, \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Leider führt das nicht zur richtigen Lösung. Was mache ich denn falsch?

21.05.2015, 19:46

grosserloewe

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RE: [Integral] Aufgabe
Wink

Folgender Weg:

1.) Polynomdivision

2.)Dann hast Du 2. Integrale.

3.) das 1. Integral ist sehr einfach, klammere beim 2. Integral im Nenner a^2 aus

4.)Substituiere dann z=x/a

5.)dann ist das 2. Integral ein bekannte Grundintegral.

6.)dann noch Resubstituieren

smile

22.05.2015, 10:14

John Neutron

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Danke, aber...

$\begin{eqnarray*} \int \! 1 \, dx - a^2 \int \! \frac{1}{1 + z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x - a^2 arctan \frac{x}{a} + C \end{eqnarray*}$

Warum aber steht bei mir a^2 drann?

22.05.2015, 10:27

Matt Eagle

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Zunächst mal brauchst du für die Zerlegung am Anfang keine Polynomdivision sondern nur die sogenannte 'nahrhafte Null'.

Konkret:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2+x^2}=\frac{x^2+\overbrace{a^2-a^2}^{=0}}{a^2+x^2}=1-\frac{a^2}{a^2+x^2}. \end{eqnarray*}$

Anschließend wird dann nicht ausgeklammert sondern gekürzt. Konkret kürzt man hier das $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{a^2+x^2}=\frac 1{1+\left(\frac xa\right)^2} \end{eqnarray*}$

Und dann geht's nach Fahrplan weiter...

22.05.2015, 10:40

John Neutron

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aber.. jetzt kommt nicht $\begin{eqnarray*} a*arctan \frac{x}{a} \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} arctan \frac{x}{a} \end{eqnarray*}$

22.05.2015, 10:44

grosserloewe

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Hallo

Natürlich ist die Polynomdivision richtig, sie umfasst ja nur eine Zeile.

@Matt Eagle
Bitte das nächste Mal das Boardprizip beachten. Hier redet zuerst immer nur einer.

22.05.2015, 10:59

John Neutron

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irgendwie fehlt mir immer noch das a...

22.05.2015, 11:10

klarsoweit

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RE: [Integral] Aufgabe
Siehe:

Zitat:

Original von grosserloewe
4.)Substituiere dann z=x/a

Bitte erläutere, was du in diesem Schritt gemacht hast.

22.05.2015, 11:26

John Neutron

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tut mir leid habs total vergessen... unglücklich

dx = a * dz

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{1 + z^2}\, adz \end{eqnarray*}$

Danke Freude

22.05.2015, 11:52

Matt Eagle

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@grosserloewe: Mach mal halb lang! Hättest Du in deinem Fahrplan die genannten Ungenauigkeiten (die hier für eine fehlerhafte Rechnung ursächlich waren) vermieden, dann wäre ich still geblieben.

Ich bin jedenfalls raus - it's all yours...

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