Liste von Kommazahlen zu ganzen Zahlen hochskalieren

21.05.2015, 23:31

Flusspferd

Liste von Kommazahlen zu ganzen Zahlen hochskalieren

Meine Frage:
Ich erläutere mein Problem an einem Beispiel. Ich habe eine Liste von Kommazahlen, z.B. [0.25, 0.5, 2.0]. Wie bestimmt man denjenigen Faktor, mit dem man jede der Zahlen in der Liste multiplizieren muss, sodass alle Ergebnisse ganzzahlig sind? Hier wäre dieser Faktor (durch scharfes Hinsehen) natürlich 4. Man erhält dann [1, 2, 8].
Aber ist es, wenn man z.B. folgende Ausgangsliste hat: [0.05, 0.07, 0.12, 0.22, 0.25, 0.29]. Ist das Problem überhaupt lösbar?
Beste Grüße

Meine Ideen:
Stichwort KGV?

22.05.2015, 00:06

HAL 9000

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Klar ist das Problem lösbar, sogar nicht nur für endliche Dezimalbrüche, sondern für eine beliebige endliche Liste von rationalen Zahlen:

Sind in $\begin{align*} \left[ \frac{p_1}{q_1}, \ldots, \frac{p_n}{q_n} \right] \end{align*}$ sämtlich vollständig gekürzte Brüche versammelt, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner $\begin{align*} q_1,\ldots,q_n \end{align*}$ der von dir gesuchte Faktor.

Im Falle deiner Liste $\begin{align*} \left[ \frac{1}{20}, \frac{7}{100}, \frac{3}{25}, \frac{11}{50}, \frac{1}{4}, \frac{29}{100} \right] \end{align*}$ ist das offensichtlich die Zahl 100.

22.05.2015, 10:50

Elvis

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Wenn man unter Kommazahlen allgemeiner Dezimalzahlen, also reelle Zahlen versteht, dann ist das Problem nicht lösbar.

Oder doch ? Für die Liste $\begin{eqnarray*} [\sqrt 2, \sqrt 3] \end{eqnarray*}$ kann man mit $\begin{eqnarray*} \sqrt 6 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um auf die natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt 2^2\cdot \sqrt 3^2=6 \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Funktioniert das für jede (endliche) Liste algebraischer Zahlen ? Was ist mit transzendenten Zahlen ? verwirrt

Ist doch klar, funktioniert immer.
Sei $\begin{eqnarray*} [x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ eine endliche Liste reeller Zahlen ungleich 0, dann ist $\begin{eqnarray*} x_1\cdot ... \cdot x_n\cdot \frac 1 {x_1}\cdot ... \cdot \frac 1 {x_n}=1 \end{eqnarray*}$ . Ist eines der $\begin{eqnarray*} x_k=0 \end{eqnarray*}$ , dann ist das Produkt $\begin{eqnarray*} x_1\cdot ... \cdot x_n=0 \end{eqnarray*}$ , also auch eine ganze Zahl.

Hammer

Anscheinend löst das nicht das gestellte Problem.
Dann komme ich eben auf meine erste bemerkung zurück und behaupte noch einmal, dass das Problem für irrationale Zahlen nicht lösbar ist.

Oder doch ?
Ich vermute, dass das Problem genau dann lösbar ist, wenn die Liste reelle Zahlen aus einem eindimensionalen rationalen Vektorraum enthält.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} [\frac {\pi}{20},\frac {\pi}{100}] \end{eqnarray*}$ kann man mit $\begin{eqnarray*} \frac {100}{\pi} \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um auf die ganzen Zahlen 5 und 1 zu kommen.

Anmerkung: Die endlichen Listen rationaler Zahlen von HAL 9000 sind darin als Spezialfall enthalten.

22.05.2015, 14:24

Guppi12

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Zitat:

Ich vermute, dass das Problem genau dann lösbar ist, wenn die Liste reelle Zahlen aus einem eindimensionalen rationalen Vektorraum enthält.

Diese letzte Vermutung ist richtig. Zumindest wenn man nicht will, dass der Multiplikator gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Sind einerseits die Elemente alle aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Qx \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^\ast \end{eqnarray*}$ , so können wir die Liste zunächst durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen und haben das Problem damit auf den von HAL behandelten Fall zurückgeführt.

Gibt es andererseits $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} ax \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus der Liste, so ist natürlich jedes Element aus der Liste aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}\mathbb Z \subset \frac 1x\mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Das letzte Argument zeigt, dass man die Bedingung verschärfen kann. Eine Liste hat die Eigenschaft genau dann, wenn alle Elemente der Liste aus $\begin{eqnarray*} x\mathbb Z \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^\ast \end{eqnarray*}$ .

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