parametrisierung, wie oft durchlaufen?

22.05.2015, 11:03	Bobby16	Auf diesen Beitrag antworten »
parametrisierung, wie oft durchlaufen? Meine Frage: Ich habe hier einen Satz: Seien B:[a,b]->K und C: [c,d]->K reguläre Parametrisierungen einer geschlossenen Kurve K mit B(a)=b(b)=C(c)=C(d). Falls K bei den Paraemtrisierungen B und C GLEICH OFT DURCHLAUFEN WIRD,....... Meine Ideen: was meint man hier mit gleich oft durchlaufen?
23.05.2015, 11:39	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist vielleicht ein Beispiel am besten. Vielleicht weißt Du, dass $\begin{eqnarray} [0,2\pi)\ni t \mapsto e^{it}\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ den Einheitskreis in $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ parametrisiert. In dieser Parametrisierung wird er einmal durchlaufen, denn f\"{u}r jeden Punkt $\begin{eqnarray} z\in\partial B_{1}(0) \end{eqnarray}$ auf dem Einheitskreis gibt es genau ein $\begin{eqnarray} t\in[0,2\pi) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} e^{it}=z \end{eqnarray}$ . Durchlaufen kannst Du Dir hier etwa so vorstellen: Wenn $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ durchläuft und Du dementsprechend die Spur der Kurve zeichnest, so wirst Du einen Kreis erhalten und ihn gegen den Uhrzeigersinn zeichnen. Wenn Du beim Wert $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ angekommen bist, erst dann ist Dein Kreis vollst\"{a}ndig - Du hast ihn dann erst einmal durchlaufen. Nimmst Du hingegen die Paramterisierung $\begin{eqnarray} [0,2\pi)\ni t \mapsto e^{2it}\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ und machst dasselbe in diesem Fall, so stellst du fest, dass Du bereits bei $\begin{eqnarray} t=\pi \end{eqnarray}$ einen vollen Kreis zusammenhast, fährst aber bis $\begin{eqnarray} t=2\pi \end{eqnarray}$ weiter, da Dir das von der Paramterisierung vorgegeben wird und fährst damit mit deinem Stift nochmal, d.h. insegesamt 2 mal den Kreis ab. Dann sagt man, die Kurve K, hier der Einheitskreis, wird zweimal durchlaufen, etc. Bei einer allgemeineren Kurve ist es ähnlich. Alles Liebe, DRM

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