Hauptwertintegral

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Haupti Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptwertintegral
Hallo zusammen, ich soll folgendes Integral berechnen:



Es handelt sich hierbei um ein Hauptwertintegral. Momentan stecke ich noch fest und habe noch keinen konkreten Ansatz wie ich das Integral geknackt bekomme.

Mein erster Ansatz war:

Es gilt da also symmetrisch ist kann ich die Integralgrenzen transformieren mit:



Nun dachte ich daran das Integral ein weiteres mal aufzuteilen mit:



Beide Integrale lassen sich nicht über die reelle Achse auswerten. Das heißt ich müsste in's komplexe wechseln um beide Integrale auszuwerten.

Ist das Vorgehen soweit richtig?

Dankesehr smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptwertintegral
Bis jetzt alles richtig, außer:
Zitat:
Original von Haupti
Beide Integrale lassen sich nicht über die reelle Achse auswerten. Das heißt ich müsste in's komplexe wechseln um beide Integrale auszuwerten.

Das ist nicht nötig. Mittels Partialbruchzerlegung kannst du eine Stammfunktion bestimmen.

Und an der Notation hapert's noch ein bisschen:
Zitat:
Original von Haupti

[...]


So ist's besser. Augenzwinkern
Haupti Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 10001000Nick1, ich habe das Integral jetzt mal mittels Partialbruchzerlegung zerlegt und integriert. Ich komme dann auf:




Das nun eingesetzt liefer:





Und spätestens hier muss ich feststellen das man wohl doch in's komplexe muss da alleine schon reell nicht auswertbar ist.

Wie soll ich hier weiter machen?

Dankesehr
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja auch .
Haupti Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 10001000Nick1, ich habe jetzt nochmal nachgelesen und wir haben es in der Vorlesung in's komplexe überführt mit:


mit und gilt dann:



Nun muss das zweite Integral noch ausgewertet werden.



hier sieht man ja das herauskommt aber das kann ja nicht die Lösung sein.

Wie soll ich hier weiter machen?

Dankesehr!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Auswerten des zweiten Integrals hast du ja jetzt schon wieder den Logarithmus einer negativen Zahl, . Wenn du einfach Beträge benutzt, wird es wirklich einfacher und du brauchst nicht ins Komplexe zu gehen.

Das zweite Integral ist dann ausgewertet:
(beim letzten Summanden war ein Vorzeichenfehler).

Du kannst jetzt den Grenzübergang durchführen, dann hast du .

Das addierst du zu dem ersten Integral und machst dann den Grenzübergang .

Zitat:
Original von Haupti
hier sieht man ja das herauskommt aber das kann ja nicht die Lösung sein.

Beide Teilintegrale einzeln existieren ja auch nicht. Deswegen bildet man den Hauptwert.
Würden beide Integrale existieren, dann wäre der Hauptwert einfach gleich der Summe der Integrale.
 
 
Haupti Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo 10001000Nick1, ich mache das jetzt mal mit den Beträgen. Dazu schreibe ich beide Integrale nochmal sauber auf nicht das hier alles im wirren bleibt.

Das erste Integral:


Das zweite Integral:


Wie ich den Grenzübergang machen soll weiß ich nicht so wirklich. Für geht doch und Die beiden Unendlichkeiten können sich ja nicht aufheben? Big Laugh

Falls man das machen darf würde übrig bleiben



Dann betrachte ich beide Integrale zusammen und mache nun den Grenzübergang mit



Passt das soweit?

Dankesehr!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Haupti
Das zweite Integral:


Guck dir da nochmal die letzten drei Summanden an, die sind alle falsch.

Und es gilt (was man aber noch begründen muss; man kann natürlich nicht einfach sagen: ).
Haupti Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal nachgerechnet und ich erhalte bei dem zweiten Integral dann:


Wenn ich nun den Grenzübergang mit mache erhalte ich:



Also erhalte ich dann:

Passt das jetzt?

Dankesehr!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der richtige Wert ist . Ich bin deine Rechnung nicht im einzelnen durchgegangen. Aber möglicherweise hast du irgendwo einen Vorzeichenfehler, so daß sich die - Werte nicht gegenseitig wegheben. Nur ein Verdacht ...
Haupti Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, du hattest recht, es hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Jetzt habe ich das richtige Ergebnis herausbekommen.
Ich danke euch beiden für die Hilfe.

Gruß, Haupti!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auch folgendermaßen vorgehen. Mit einem gilt:

Um das zu sehen, substituiere man durch . Nun verwendet man und erhält so:



Und dies zeigt:



Die linke Seite paßt noch nicht ganz zum Hauptwert. Mit der geometrischen Reihe folgt jedoch: , so daß die linke Seite für in den Hauptwert übergeht. Diese Argumentation kann abgesichert werden, wenn man das Differenzintegral untersucht. Es ist (mit dem Nenner durchmultiplizieren). Die Standardabschätung eines Integrals durch das Maximum der Funktion mal der Länge des Integrationsweges ergibt:



Mehrfachanwendung der dritten binomischen Formel führt auf



Und damit gilt im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes:

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