Transformationssatz eindimensional

23.05.2015, 08:23

Q-fLaDeN

Transformationssatz eindimensional

Hey zusammen,
nach langer Abstinenz habe ich mal wieder eine Frage für euch.

Gegeben ist eine gleichverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 < x < 2\pi \end{eqnarray*}$ . Nun soll die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ der transformierten Zufallsvariable

$\begin{eqnarray*} y = \sin(x) \end{eqnarray*}$

gefunden werden.

Der Transformationssatz im eindimensionalen lautet ja

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \left(f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|\right) \Bigg |_{x = g^{-1}(y)} \end{eqnarray*}$

bzw. eine entsprechende Summation falls $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nicht umkehrbar ist. Also Umkehrfunktion habe ich

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(y) = \begin{cases} \arcsin(y) \quad &\text{für }~ 0 \leq y < \frac{\pi}{2} \\ \pi + \arcsin(-y) \quad &\text{für }~ \frac{\pi}{2} \leq y < \frac{3}{2}\pi \\ 2\pi + \arcsin(y) \quad &\text{für }~ \frac{3}{2}\pi \leq y < 2\pi \end{cases} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich versucht die Dichtefunktion aufzustellen

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \sum_{x_i} \left(f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|\right) \Bigg |_{x_i = g^{-1}(y)} = \frac{1}{2\pi} \cdot \left[\frac{1}{|\cos(x)|} \Bigg |_{x = \arcsin(y) } + \frac{1}{|\cos(x)|} \Bigg |_{x = \pi + \arcsin(-y) } + \frac{1}{|\cos(x)|} \Bigg |_{x = 2\pi+\arcsin(y) }\right] \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt oder bin ich da auf dem Holzweg?

26.05.2015, 07:55

Leopold

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Wenn ich dein Ergebnis auswerte, komme ich auf $\begin{align*} f_Y(y) = \frac{3}{2 \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \, , \ -1 \leq y \leq 1 \end{align*}$ . Hierfür gilt: $\begin{align*} \int_{-1}^1 f_Y(y) ~ \dd y = \frac{3}{2} \neq 1 \end{align*}$ .

Ich würde von der Verteilungsfunktion von $\begin{align*} Y = \sin(X) \end{align*}$ ausgehen:

$\begin{align*} F_Y(y) = P \left( Y \leq y \right) = P \left( \sin(X) \leq y \right) \end{align*}$

Es interessieren nur Werte von $\begin{align*} X \end{align*}$ , die im Intervall $\begin{align*} [0,2 \pi] \end{align*}$ liegen.

1. Ist $\begin{align*} 0 \leq y \leq 1 \end{align*}$ , so gilt: $\begin{align*} \sin(X) \leq y \ \ \Leftrightarrow \ \ X \in \left[ 0 \, , \, \arcsin y \right] \cup \left[ \pi - \arcsin y \, , \, 2 \pi \right] \end{align*}$

$\begin{align*} F_Y(y) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \left( \arcsin y + 2 \pi - \left( \pi - \arcsin y \right) \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arcsin y \end{align*}$

2. Ist $\begin{align*} -1 \leq y < 0 \end{align*}$ , so gilt: $\begin{align*} \sin(X) \leq y \ \ \Leftrightarrow \ \ X \in \left[ \pi - \arcsin y \, , \, 2 \pi + \arcsin y \right] \end{align*}$

$\begin{align*} F_Y(y) = \frac{1}{2 \pi} \cdot \left( 2 \pi + \arcsin y - \left( \pi - \arcsin y \right) \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arcsin y \end{align*}$

Zusammengefaßt erhält man für die Verteilungsfunktion von $\begin{align*} Y \end{align*}$ :

$\begin{align*} F_Y(y) = \begin{cases} 0, & \text{falls} \ y<-1 \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arcsin y, & \text{falls} \ -1 \leq y \leq 1 \\ 1, & \text{falls} \ y>1 \end{cases} \end{align*}$

Als Dichte bekomme ich somit

$\begin{align*} f_Y(y) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \, , \ -1 < y < 1 \end{align*}$

Und das scheint mir besser zu passen.

EDIT
Ungenauigkeit berichtigt.

26.05.2015, 09:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Der Transformationssatz im eindimensionalen lautet ja

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \left(f_X(x) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right|\right) \Bigg |_{x = g^{-1}(y)} \end{eqnarray*}$

bzw. eine entsprechende Summation falls $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ nicht umkehrbar ist.

Da es sich um genau einen solchen Fall hier handelt, sollte man vielleicht mal ordentlich aufschreiben, was dies bedeutet. Es gilt dann

$\begin{align*} f_Y(y) = \sum_{x\in g^{-1}(\{y\})} f_X(x) \cdot \left|\frac{1}{g'(x)}\right|\qquad (*) \end{align*}$

wobei $\begin{align*} g^{-1} \end{align*}$ nicht die (hier gar nicht existente) Umkehrfunktion, sondern die Urbildfunktion ist, und dementsprechend mengenwertig. Ich weiß jetzt nicht genau, wann immer (*) gilt, zumindest dürfte hinreichend sein die Stetigkeit der Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ sowie die Endlichkeit aller Urbilder $\begin{align*} g^{-1}(\{y\}) \end{align*}$ .

Als nächstes sollte man also diese Urbilder korrekt ermitteln (was ist dir oben offensichtlich vollkommen misslungen ist). Im vorliegenden Fall für $\begin{align*} g:\; (0,2\pi)\to\mathbb{R} \end{align*}$ mit $\begin{align*} g(x)=\sin(x) \end{align*}$ wäre das

$\begin{align*} g^{-1}(\{y\}) = \begin{cases} \left\{ \arcsin(y),\pi-\arcsin(y)\right\} &\;\mbox{für}\; 0 < y \leq 1 \\ \left\{ \pi - \arcsin(y),2\pi+\arcsin(y)\right\} &\;\mbox{für}\;-1\leq y < 0\\ \{ \pi \} &\;\mbox{für}\; y=0\\ \emptyset &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

Das ergibt für die Dichtefunktion im Fall $\begin{align*} 0<y<1 \end{align*}$

$\begin{align*} f_Y(y) = \frac{1}{2\pi} \cdot \left[ \left| \frac{1}{\cos(\arcsin(y))} \right| + \left| \frac{1}{\cos(\pi-\arcsin(y))} \right| \right] = \frac{1}{\pi\sqrt{1-y^2}} \end{align*}$

und analog im Fall $\begin{align*} -1<y<0 \end{align*}$

$\begin{align*} f_Y(y) = \frac{1}{2\pi} \cdot \left[ \left| \frac{1}{\cos(\pi-\arcsin(y))} \right| + \left| \frac{1}{\cos(2\pi+\arcsin(y))} \right| \right] = \frac{1}{\pi\sqrt{1-y^2}} \end{align*}$ .

Meiner Erfahrung nach lohnt es sich i.d.R. nicht, über diesen "erweiterten" Transformationssatz zu gehen - ich finde den von Leopold beschrittenen Weg irgendwie klarer.

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