Cauchy schwarzsche

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24.05.2015, 00:17	:)) mäp :))	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy schwarzsche Meine Frage: Hey komm leider nicht weiter und brauche dringend Hilfe bitte ) kann mir jemand verraten wie ich zeigen soll dass diese Ungleichung stimmt? x + y + z <= 2[(x^2/(y + z)) + (y^2/(x + z)) + (z^2/(x + y))] wobei x,y,z elemtent von R+ sind Meine Ideen:* hab 100 wege versucht es umzuformen und irgendwie in die csu einzusetzten aber nicht hat funktioniert :/
24.05.2015, 08:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche Die Ungleichung ohne weitere Annahmen ist falsch. Man kann die rechte Seite durch z.B. $\begin{eqnarray} 0 \ll x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z \approx -y \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ laufen lassen, während die linke Beschränkt bleibt. Schätzungsweise hast du uns $\begin{eqnarray} x,y,z > 0 \end{eqnarray}$ unterschlagen.
24.05.2015, 11:34	:)) mäp :))	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche da steht doch xyz element von R+ :P
24.05.2015, 15:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche Und deswegen betreibt man müde kein Mathe -- verzeih. Schau dir am Besten dennoch erst einmal den Fall z = 0 an, und beweis den. Man kann zwar daraus nicht auf den allgemeinen Fall schließen, aber die Strategie sollte übertragbar sein. Edit: Vlt sollte ich sagen, dass ich auch nicht sehe wie man es mit Cauchy Schwarz beweisen kann.
24.05.2015, 17:01	:)) mäp :))	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche das hilft mir leider nicht weiter grade :P
24.05.2015, 18:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche Hast du denn für $\begin{eqnarray} z = 0 \end{eqnarray}$ beweisen können? Edit: Mit Cauchy Schwarz geht es tatsächlich, und ist deutlich einfacher als ich anfangs gedacht habe. Definiere $\begin{eqnarray} v = ( x,y,z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w = (1,1,1) \end{eqnarray}$ . Dann kann man schreiben $\begin{eqnarray} x + y + x = \langle v, w \rangle \end{eqnarray}$ . Mit der Homogenität des Skalarproduktes kann man v und w jeweils richtig gewichten, s.d. man nach der Anwendung der CS Ungleichung einen Faktor direkt dort stehen hat (mit einer Wurzel) und der andere sorgt indirekt dafür, dass die Wurzel wegfällt. Edit: Man muss jede Komponente von v anders gewichten, d.h. ein $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 > 0 \end{eqnarray}$ finden, s.d. $\begin{eqnarray} \widetilde v = (\lambda_1 x, \lambda_2 y, \lambda_3 z) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \widetilde w = ( \frac 1 {\lambda_1}, \frac 1 {\lambda_2}, \frac 1 {\lambda_3}) \end{eqnarray}$ (bemerke $\begin{eqnarray} \langle v, w\rangle = \langle \widetilde v, \widetilde w \rangle \end{eqnarray}$ ) dann nach CS das richtige ergeben.
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24.05.2015, 22:16	:)) mäp :))	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche okay cool vielen vielen dank für den Ansatz aber ich schaffs irgendwie immernoch nicht die einzelnen lamdas festzulegen
24.05.2015, 22:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy schwarzsche Ich habe dir doch bereits gesagt, dass der erst Faktor die gewuenschte recht Seite ist (abzueglich einer Wurzel von der CS-Ungleichung). D.h. wenn du es sauber untereinander schreibst, solltest du sehen wie man die Lambdas waehlen kann. Alternativ schreib auf wie weit du kommst.
25.05.2015, 00:45	:)) mäp :))	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh ich hab dich jetzt irgendwie falsch verstanden :/ die csu besagt ja <v,w> <= wurzel(<v,v>*<w,w>) und ich hab dich jetzt so verstanden dass ich meine lamdas so wählen soll dass der erste faktor also <v,v> = die gewünschte rechte seite des terms ist?? aber das macht ja wenig sinn denn sonst müsste ja um die wurzel wegzukriegen <v,v>=<w,w> sein ??
25.05.2015, 02:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Lustigerweise nicht. Wenn man es richtig wählt ist $\begin{eqnarray} \langle \widetilde w, \widetilde w \rangle = 2 ( x + y + z) \end{eqnarray}$ . Nachdem man dadurch dividiert hat, und quadriert, bekommt man die gewünschte Ungleichung.
25.05.2015, 11:45	:)) mäp :))	Auf diesen Beitrag antworten »
genial! hab vielen danke aber wie bist drauf gekommen? man hätte doch alles mögliche einsetzten können? war das geschätzt von dir das ein faktor die rechte seite ergeben muss? nja nochmal vielen dank ) schönen feiertag wünsch ich!
25.05.2015, 15:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das schwierigste war es den Ausdruck als Skalarprodukt zu schreiben. Hier war es sehr nützlich, dass die Aufgabenstellung das praktisch aufgrund von CS vorgegeben hat. Mit den Gewichten in den Tilde-Versionen von v und w kam ich dann eben auf den einen Term, aber mit einer Wurzel -- und nun das wichtigste an der Mathematik: Nicht aufgeben! Daher habe ich nachgesehen, was der andere Term treibt. Die Hoffnung war, dass es die Wurzel vertreibt -- da dachte ich auch noch es sollte noch einmal der andere Faktor auftauchen, spätestens nach einer weiteren Abschätzung. Interessanterweise trat das nicht ein (technisch gesehen schon, weil man den Faktor mit der zu zeigenden Abschätzung hätte abschätzen können), aber es reichte am Ende des Tages dennoch.

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