Ableitungen bilden

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24.05.2015, 12:40	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen bilden Guten Tag liebe Forianer, ich soll diese Aufgabe lösen: Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen und vereinfachen Sie Ihre Ergebnisse soweit wie möglich. a) $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{x³-3x+6}{\left(x-1\right)² } \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(x)= e^{sinh\left(x^{2} \right) } \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f(x)= ln\left(\left(1+x²\right)\left(1+x^4\right) \right) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{e^{2x}- e^{x}+1 }{e^{x}+ e^{-x} } \end{eqnarray}$ Bei a) und d) würde ich die Quotientenregel und ggf. die Kettenregel anwenden. Bei b) muss man wissen, dass die Ableitung von sinh, cosh ist. Lediglich bei c) weiss ich nicht so Recht was ich da tun muss. Das Ableiten an sich kriege ich ,so glaube ich zumindest, ganz gut hin. Beim Vereinfachen habe ich Probleme. Sind meine Ideen/Gedanken soweit in Ordnung? Wenn ja, dann würde ich im Anschluss mal meine Lösung zu a) herzeigen. Bis dahin, skinner71
24.05.2015, 12:45	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitungen bilden Du erwähnst selbst die Kettenregel. Kennst du die Ableitung der ln-Funktion? Wenn ja, hast du einen Ausdruck der Form ln(u) mit Hilfe der Kettenregel (dabei dann auch Produktregel) abzuleiten!
24.05.2015, 12:47	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi,danke für deine super fixe Antwort! Ne,die kenne ich leider nicht.
24.05.2015, 12:51	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
[ ln(x) ]' = 1/x (Kurzform) weiter wie oben beschrieben
24.05.2015, 14:25	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
So, erstmal die c), die Dank deiner Hilfe echt schnell ging! Mit Hilfe der Logarithmus-Gesetze kann man die Funktion auch als $\begin{eqnarray} f(x)= ln\left(1+x²\right)+ln\left(1+x^4\right) \end{eqnarray}$ Jetzt wendet man das Gesetz zum Ableiten von Logarithmen ab und dazu noch die Kettenregel. $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{1}{1+x²}\cdot 2x + \frac{1}{1+x^4}\cdot 4x^3 \end{eqnarray}$ daraus folgt $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{2x}{1 +x²}+\frac{4x^3}{1+x^4} \end{eqnarray}$ Ich glaube, dass man das nicht weiter zusammenfassen kann. Daher würde ich sagen, dass die c) fertg ist ?!
24.05.2015, 14:27	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig
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24.05.2015, 14:44	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut! nun die b) Da habe ich die Kettenregel angewendet: $\begin{eqnarray} f'(x)= e^{sinh(x²)}\cdot cosh(x²) \end{eqnarray}$
24.05.2015, 14:51	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst auch bei der 'inneren Ableitung' die Kettenregel anwenden!
24.05.2015, 14:54	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, sehr verwirrend. dann sieht es so aus: $\begin{eqnarray} f'(x)= e^{sinh(x²)}\cdot cosh(x²) \cdot 2x \end{eqnarray}$
24.05.2015, 15:07	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
24.05.2015, 15:10	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
nun die a) $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{\left(3x²-3\right)\cdot \left(x-1\right)²-2\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x³-3x+6\right) }{\left(x-1\right)^4 } \end{eqnarray}$ Das kriegt man doch sicherlich noch irgendwie schön zusammengefasst,oder? Ich weiß nur nich wie
24.05.2015, 15:13	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Zähler kann man eine Klammer ausklammern und dann wegkürzen. Danach multiplizierst du die Klammern im Zähler aus und fasst zusammen.
24.05.2015, 15:53	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
damit kann ja nur der Faktor (x-1) gemeint sein. Wenn man nun gekürzt hat, sieht das so aus. $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{\left(3x²-3\right)\cdot \left(x-1\right)-2\cdot \left(x³-3x+6\right) }{\left(x-1\right)³ } \end{eqnarray}$ Kann man noch weiter vereinfachen?
24.05.2015, 15:55	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
steht doch direkt oberhalb!
24.05.2015, 16:04	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige, das edit hatte ich nicht gesehen. Nun habe ich: $\begin{eqnarray} f'(x)= \frac{x³-3x²+3x-9}{(x-1)³} \end{eqnarray}$ Geht es etwa noch weiter?
24.05.2015, 17:39	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, es geht nicht weiter!
24.05.2015, 19:04	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann geht es nun an die letzte Aufgabe: da habe ich nun abgeleitet und komme auf: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{\left(2e^{2x}-e^x\right)\cdot \left(e^x+e^{-x} \right)- \left(e^{2x}-e^x+1\right)\cdot \left(e^x-e^x\right) }{\left(e^x+e^{-x} \right)² } \end{eqnarray}$ Ich habe hier die Quotientenregel und die Kettenregel genutzt. Stimmt das so? Kann ich das noch weiter zusammenfassen?
24.05.2015, 19:24	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Ich vertrete mal. stimmt so weit. Kannst aber noch weiter zusamenfassen. Der rechte Teil der Differenz im Zähler fällt zum Beispiel weg, wenn du genauer hinschaust
24.05.2015, 21:08	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Danke für deine Hilfe. Ich glaube, dass mir ein kleiner Fehler unterlaufen ist: Müsste die letzte Klammer im Zähler nicht (e^x-e^-x ) heißen und nicht (e^x-e^x) ?? Was genau soll den Wegfallen? Ich seh es nicht
25.05.2015, 09:08	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
hast recht. sorry. Habe genau so ein minus übersehen wie du. naja, normalerweise wäre ja dann der letzte Teil 0 gewesen. Dann ist es genau so richtig, wie du gesagt hast. Ich würde dann noch: e^{x}+e^{-x} ausklammern.
25.05.2015, 11:16	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
so, ich habe ausgeklammert und dann kann ich doch auch direkt kürzen,richtig? dann habe ich nun das herausbekommen: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{\left(2e^{2x}-e^x\right)- \left(e^{2x}-e^x+1\right) }{\left(e^x+e^{-x}\right) } \end{eqnarray}$ Da kann man doch sicherlich noch was im Zähler zusammenfassen
25.05.2015, 11:25	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
So,ich habe selber nochmal geguckt und wenn ich den Zähler noch zusammenfasse, komme ich letztenendlich auf: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{\left(e^{2x}-1\right) }{\left(e^x+e^{-x}\right) } \end{eqnarray}$
25.05.2015, 13:24	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich merke gerade, dass das ausklammern und das kürzen vollkommen falsch waren. HILFE!
25.05.2015, 13:46	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
kann nicht erkennen, was du da ausklammern willst. ich denke, du musst im Zähler einfach ausmultiplizieren und dann zusammenfassen, den Nenner lässt du stehen.
25.05.2015, 14:11	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann bekomme ich wenn ich ausmultipliziere und zusammenfasse: $\begin{eqnarray} = \frac{-e^{-x}+4e^x+e^{3x}}{\left(e^x+e^{-x}\right)² } \end{eqnarray}$
25.05.2015, 14:18	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
habe das kurz getestet, indem ich im Zähler beim Anfangsterm und bei deinem Ergebnis x=0 eingesetzt habe. Keine Übereinstimmung. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist dein Ergebnis falsch!
25.05.2015, 14:23	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
nur ganz kurz am Rande: die Ableitung von 11:25 ist korrekt
25.05.2015, 14:25	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann poste ich erstmal den Schritt nach dem ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} = \frac{2e^{3x}+2e^x-e^{2x}-1-\left(e^{3x}-e^x-e^{2x}+1+e^x-e^{-x}\right) }{\left(e^x+e^{-x}\right)² } \end{eqnarray}$ Wenn man dann die Klammer weglässt, verändern sich ja die Vorzeichen in der Klammer wegen dem "-". $\begin{eqnarray} = \frac{2e^{3x}+2e^x-e^{2x}-1-e^{3x}+e^x+e^{2x}+1+e^x-e^{-x} }{\left(e^x+e^{-x}\right)² } \end{eqnarray}$ Wo ist der Fehler?
25.05.2015, 14:33	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist die Ableitung von 11:25 korrekt. Da habe ich etwas ausgeklammert, was gar nicht geht? O_O
25.05.2015, 14:39	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe da meine Zweifel mit 11:25, dann müsste f'(0) = 0 sein Kriege ich nicht raus ?
25.05.2015, 14:40	Mi_cha	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, Verzeihung. Habe mich vertan. Die Ableitung stimmt nicht. Ich bin wieder raus.
25.05.2015, 14:43	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
in 14:25 musst du alle Zeichen in der Klammer ändern
25.05.2015, 14:52	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, hab ich nicht aufgepasst.... $\begin{eqnarray} = \frac{2e^{3x}+2e^x-e^{2x}-1-e^{3x}+e^x+e^{2x}-1-e^x+e^{-x} }{\left(e^x+e^{-x}\right)² } \end{eqnarray}$ So müsste es stimmen. Jetzt wahrscheinlich nur wieder zusammenfassen!?
25.05.2015, 15:00	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
25.05.2015, 15:03	skinner71	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} = \frac{e^{-x}+2e^x+e^{3x}-2}{\left(e^x+e^{-x}\right) } \end{eqnarray}$ Ich hoffe, dass das nun richtig ist.
25.05.2015, 15:05	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin stolz auf dich!
25.05.2015, 19:06	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach allen Irrungen und Wirrungen in diesem Thread soll die Ableitung aber nun zum Schluß nicht (auch noch bestätigt!) falsch dastehen. Richtig ist $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{e^{-x}+2e^x+e^{3x}-2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^{\color{red}2} } \end{eqnarray}$
25.05.2015, 19:08	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt natürlich, dummer Flüchtigkeitsfehler! danke @opi

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