Funktion mit Menge |
24.05.2015, 19:58 | Chrisbrauchthilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Funktion mit Menge Habe eine Aufgabe die ich einfach nicht hinkriege. Es seien X,Y Mengen und f: X-> Y eine Funktion. Zeigen Sie, das für jede gilt: Ansatz: Naja, ich weiß, dass ich Mengen beweissen kann, indem ich und usw. schreibe aber macht das hier Sinn? |
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24.05.2015, 20:02 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, man zeigt die Gleichheit zweier Mengen i.d.R. dadurch, dass sie ineinander enthalten sind. |
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24.05.2015, 20:05 | Chrisbrauchthilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ineinander enthalten heißt dann: A ist Teilemenge von B und B ist Teilmenge von A muss ich zeigen? |
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24.05.2015, 20:07 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Prinzipiell: Ja. Wobei es in der Aufgabe nicht um A=B geht. |
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24.05.2015, 20:07 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Funktion mit Menge
Soll wohl heißen |
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24.05.2015, 20:09 | Chrisbrauchthilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja soll es sorry. Also A und B sind ja Teilmengen von X und es soll eine Funktion von X nach Y existieren. Was genau soll mir das helfen, wenn dort noch eine Funktion von X nach Y definiert wird? |
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24.05.2015, 20:11 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Funktion f soll dir gar nicht helfen. Die zu beweisende Aussage dreht sich um diese Funktion f. |
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24.05.2015, 20:23 | Chrisbrauchthilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ach ja, klar. hm. Ich steh auf dem Schlauch. Ich soll doch beweisen, dass die Funktion der Vereinigung von A und B äquivalent ist zu der FUnktion von A vereinigt mit der Funktion von B. Fang ich dann da so an: oder oder Da habe ich natürlich die Funktion gar nicht beachtet. Dafür müsste ja jeder oder B in Y mindestens einem Wert zugeordnet sein. oder? |
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24.05.2015, 20:57 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mengen sind auch nicht äquivalent, das wären Aussagen, u.U. sind sie gleich.
Das ist eine Tautologie. Und verschiedene Objekte haben auch verschiedene Namen; keine x zweimal vergeben. Du musst dir erstmal klar werden was du da überhaupt beweisen sollst. Was ist denn überhaupt z.B. f(A)? |
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25.05.2015, 09:03 | Chrisbrauchthilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja, f(A) müsste doch eine Funktion sein, die die Menge A auf Y abbildet, weil die Menge A ja in der Menge X enthalten ist und die komplett auf Y abbildbar ist (laut Definition). |
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25.05.2015, 10:28 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Betrachte doch mal einzelne Elemente , oder . Dann frage dich, falls ist dann auch ? usw. Wenn du das alles durchgehst, dann kannst du folgern , sowie . |
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25.05.2015, 11:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
??? Captain Kirk hat dich gefragt, was ist. Und du versuchst zu beantworten, was ist. Was dir allerdings nicht gelingt. Ich versuche einmal, es dir zu erklären. Eigentlich handelt es sich um zwei Funktionen. Da ist zunächst die Funktion , die Elemente der Menge auf Elemente der Menge abbildet: Die Bilder dieser Funktion heißen . Als einfaches Beispiel nehmen wir die gewöhnliche Quadratfunktion: Dann gibt es zu eine zweite Funktion , die Elemente der Potenzmenge von , also Teilmengen von , auf Elemente der Potenzmenge von , also Teilmengen von , abbildet: Und die Vorschrift für diese Funktion ist Kehren wir zum Beispiel der Quadratfunktion zurück und nehmen wir für exemplarisch Intervalle: Hier gilt: Mache dir das aufgrund der Definition klar. Und nun schreibt man statt wieder . Der Bezeichner ist also überladen. Dennoch weiß man immer, welches gemeint ist, das originale oder . Man sieht es am Argument, also dem, was man einsetzt: ein oder ein . |
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25.05.2015, 11:47 | ChrisbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke Leopold! Ich versuche es zu verstehen
hier betrachten wir ja im Prinzi das Intervall I von -2 bis 1 und das Intervall J von - bis 1. Wenn ich das dann einsetze komme ich auf die Intervalle von f*. Zu der Aufgabe zurück. Dann müsste f(A) ja im Prinzip mein f* sein. heißt A ist Element der Potenzmenge von X und B ist auch Element der Potenzmenge von X. Und meine Behauptng war ja, dass f(A) und f(B) vereinigt gleich f(A vereinigt B) ist. Das ist mir ja jetzt klar, das so sie ist, aber wie zeige ich das denn jetzt? |
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25.05.2015, 12:21 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Indem du meinen letzten Tipp benutzt. |
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25.05.2015, 12:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine Standardmethode, die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, ist, daß man jede als Teilmenge der anderen nachweist: Hier ist und . Daß das hier eigentlich das ist, sollte klar sein. Jetzt betrachtest du irgendein Element und weist nach, daß es auch in liegt. Dann ist gezeigt. Später betrachtest du irgendein und weist nach, daß es auch in liegt. Dann ist gezeigt. Beginnen wir mit dem ersten, also einem . Nach Definition besteht aus den Bildern der Menge . Es muß daher ein geben, also ein , das in oder in liegt, mit . Wie geht es nun weiter? |
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25.05.2015, 12:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich wollte schon auf deinen Beitrag verlinken, bin dann aber darüber gestolpert:
Das ist zumindest mißverständlich. |
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25.05.2015, 12:34 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Inwiefern? Es sind natürlich drei Beweisteile gemeint, in denen man jeweils annimmt, dass , oder . Dies sollte nicht iimplizieren, dass ein x in allen diesen Teilmengen enthalten sein soll. Oder was hattest du gemeint mit "missverständlich"? |
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25.05.2015, 12:39 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also beispielsweise: usw. |
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25.05.2015, 12:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau das hatte ich gemeint. Beim ersten Lesen habe ich das so interpretiert: Mir war schon klar, daß du das nicht gemeint haben konntest, sondern du anscheinend drei Fälle betrachten wolltest. Manches Mal liegt halt doch in der Kürze nicht die Würze, sondern der Keim des Unheils. |
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25.05.2015, 13:07 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da hätte den Leser meines Posts wohl das Wörtchen "oder" gerettet. |
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25.05.2015, 13:23 | ChrisbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja, ich weiß gerade irgendwie überhaupt nicht, was wir tun.. Ich würde jetzt das gleiche Prozedere für die andere Seite machen. , V ist definiert durch also muss es ein oder ein geben mit hmm... |
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25.05.2015, 13:30 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Korrekt! Und was folgt daraus? Ist dieses dann auch in ? |
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25.05.2015, 13:37 | ChrisbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja, und zwar weil: das haben wir ja für beide Seiten gezeigt, also ist U=V und somit auch |
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25.05.2015, 13:43 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deswegen ist ? Diese Schlussfolgerung verstehe ich nicht. Du bist da wohl schon ein paar Schritte weiter.
Na ja, das hast du eben noch nicht gezeigt, zumindest sehe ich nicht wo. |
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25.05.2015, 13:55 | ChrisbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm.. Nochmal zusammengefasst: Zu zeigen ist das ist unter der Voraussetzung, dass A,B \in X und f: X->Y definiert ist. Dann haben wir zuerst gesagt, dass zwei Mengen gleich sind, wenn folgendes erfüllt ist: dann haben wir mit dem ersten Fall angefangen: , wobei und Dann haben wir uns ein genommen und gezeigt, dass es ein gibt, sodass Das gleiche haben wir für den 2. Fall gemacht: , wobei Wieder ein genommen und gezeigt, dass es ein gibt, sodass Jetzt ist noch zu zeigen, dass dieses liegt ? Muss ich nicht die andere Seite, also das liegt auch noch zeigen? |
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25.05.2015, 14:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Deine dauernden "dann" irritieren. Das klingt immer so, als ob man das Folgende aus dem Vorhergehenden schließen könnte.
Sage nicht dann, sondern dazu. Das muß in liegen. Auch gezeigt ist hier unpassend. Nach Definition sind die Elemente der Menge gerade die mit . Jetzt mußt du noch begründen, warum mit dem oben bestimmten auch in liegt. Erst dann hast du gezeigt. Wenn aber nun ist, dann liegt in oder in . Es bietet sich also eine Fallunterscheidung an. |
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25.05.2015, 14:52 | ChrisbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay. Ich würde da als 1. Fall betrachten und als 2. Fall 1. Fall: Wenn, und nicht in B, dann liegt das f(x) drin, weil ich eine Vereinigungsmenge habe. Also ich würde sagen, hat ja im Endeffekt trotzdem noch alle Elemente von A, wegen der Vereinigung. und im ist es äquivalent, hat trotzdem noch alle Elemente von A und B. Und ist ja nichts anderes. Ganz kompliziert ausgedrückt, weil ich keinen Schimmer habe, wie ich das mathematisch zeige. Vielleicht ja so: oder |
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25.05.2015, 15:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das wäre eine zusätzliche Einschränkung. Diese Annahme ist unzulässig und im übrigen überflüssig. Du machst es dir viel zu kompliziert. Eigentlich ist die Sache ganz einfach: Wir haben mit . 1. Fall: Dann ist ; siehe Definition von . 2. Fall: Dann ist ; siehe Definition von . Damit liegt in oder in . Also liegt es in (Definition der Vereinigungsmenge: das logische "oder" bei der Elementbeziehung entspricht der Vereinigung bei den Mengen). Somit gezeigt. |
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25.05.2015, 15:26 | ChrisbrauchtHilfe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay. und jetzt muss ich noch das umgekehrte zeigen oder? Ich denke echt viel zu kompliziert.. Es ist viel einfacher als man denkt. Da muss ich noch hinterkommen, damit ich das Studium auch schaffe.. Ich finde Mathe echt total interessant und liebe es den ganzen Tag damit zu experimentieren, aber mir fallen die kleinsten und trivialsten Dinge schon verdammt schwer.. |
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