Satz des Pythagoras

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Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »
Satz des Pythagoras
Hallo,

ich habe gerade wirklich keine Ahnung, wie man hier anfangen soll. Habe erst gedacht, man könne das Dreieck einfach halbieren, aber dann fehlt ja immernoch eine gegebene Seite.

Formel ist ja H^2 = K1^2 + K2^2

Die Aufgabe ist:
a) Wie weit kann man von einem 45 Meter hohen Leuchtturm sehen? Stelle Dir die Erde als Kugel vor und verwende bei der Berechnung für den Erdradius 6370 Kilometer.

b) Im Altertum wurde eine Leuchtweite von 100 Stadien (1 Stadion= 225 Meter) angestrebt. Wie hoch musste demnach ein Leuchtturm mindestens gebaut werden?

Muss man eventuell noch etwas mit - keine Ahnung wie der "Satz [des...]" heißt - Kreisberechnung machen?

Zeichnung Klicken für bessere Darstellung
[attach]38178[/attach]

Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen . .. . vielleicht ist es auch ganz einfach zu verstehen verwirrt
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lang ist denn die Hypotenuse? verwirrt
wopi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz des Pythagoras
wenn du die Entfernung von der Spitze S des Leuchtturms zum Berührpunkt B der Tangente x nennst,
kannst du in dem rw Dreieck MBS x und dann MS ausrechnen.

EDIT: @Mathema, Hatte noch nicht gesehen, dass du übernommen hast!
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Mathema: Wie lang ist denn die Hypotenuse?
Ja, es gibt ja kein rechten Winkel. Woher soll der kommen? Ich muss das Dreieck ja teilen, in der Mitte. Dann ist eine Hälfte ja Erdradius geteilt durch 2. Also 3185 km. Und dann? Oder ist das überhaupt richtig?

wopi: [...] MBS x und dann MS ausrechnen.
Was?! Big Laugh
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch schon ein Bild, wieso benutzt du das nicht? unglücklich

Der rechte Winkel ist sogar schon eingezeichnet. Wieso du dieses Dreieck teilen willst, ist mir schleierhaft.

Der rechte Winkel kommt übrigens daher, dass jede Tangente an einen Kreis senkrecht auf dem (Berühr-)Radius steht.

Meine Frage bleibt daher bestehen.
wopi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch ein rechtwinkliges Dreieck MBS

S Spitze des Leuchtturms
B Berührpunkt der Tangente von S an die Kugel
M Mittelpunkt der Kugel


MS (Hypotenuse) kannst du direkt ausrechnen (hatte zuvor nicht gesehen, dass die Höhe des Leuchtturms gegeben ist)
 
 
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

" Der rechte Winkel ist sogar schon eingezeichnet. "

Achja, stimmt o.O Hammer

Demzufolge ist die Hypothenuse ja die lange gerade Linie links, also 6370,45 km.

Aber dann habe ich ja nur eine Anga.... verwirrt

Hä?

Wenn H = 6370 km ist, dann ist ja K1 so lang wie H, also auch 6370 km, oder? (Minus Leuchtturmhöhe)

Dann könnte ich ja K2 ausrechnen, was die Sichtweite ist. Stimmt das?

[attach]38179[/attach]
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Der Leuchtturm gehört doch noch zur Hypotenuse dazu. Demnach ist sie nicht genau so lang wie der Erdradius, sondern?

edit: Doch noch gemerkt, aber dennoch verkehrt. So wäre der Leuchtturm nun 450 Meter hoch.
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Der Leuchtturm gehört doch noch zur Hypotenuse dazu. Demnach ist sie nicht genau so lang wie der Erdradius, sondern?


Ja das habe ich gerade gemerkt, habs gerade noch geändert ^^

H = 6370,045 km
K1 = 6370 km
K2 = gesucht

Habe das jetzt mal auf einem Zettel gerechnet, da müsste K2 ja 23,9 Kilometer Sichtweite sein. Richtig?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das passt.
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Ja - das passt.


OK Danke!


--

Jetzt kenne ich ja die Seiten,
aber wie rechne ich jetzt b)

b) Im Altertum wurde eine Leuchtweite von 100 Stadien (1 Stadion= 225 Meter) angestrebt. Wie hoch musste demnach ein Leuchtturm mindestens gebaut werden?

Leuchtweite soll sein: 22.500 Meter

K2 = 23,9 Kilometer.

Kann der Turm dann nicht 45 Meter hoch bleiben?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das entscheidende Wort in der Frage ist doch "mindestens". K2 ist nun 22,5 km, richtig. Gesucht ist die Höhe des Turms (nennen wir sie mal x). Also:

Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Das entscheidende Wort in der Frage ist doch "mindestens". K2 ist nun 22,5 km, richtig. Gesucht ist die Höhe des Turms (nennen wir sie mal x). Also:



Wenn ich ehrlich bin verstehe ich es nicht Ups

Warum denn jetzt diese Rechnung
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch genau der gleiche Ansatz wie bei a).



H: Erdradius (6370km) + Turmhöhe (x)
K1: Erdradius (6370km)
K2: Sichtweite (22,5km)
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ja stimmt.

Ich habe das soweit alles mal gerechnet, erhalte aber:

40577473,3 = 40577471,21

geschockt

Das ergibt irgendwie keinen Sinn oder?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig!

Da ich aber deine Rechnung nicht sehen kann, kann ich dir auch nicht sagen, was du falsch gemacht hast.
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Turm müsste 68,9 Meter hoch sein?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Kann das sein?
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Auf die 68,9 Meter bin ich so gekommen:

(6370+x)² = 6370² + 23,9²

40576900+x² = 40576900+571,21
40576900+x² = 40577471,21 | - 40576900
x² = 571,21 |Wurzel
x = 23,9

---------
= 23,9
+ 45
----------
= 68,9 (m)


Da ich ein wenig durcheinander bin, weiß ich nicht obs richtig ist unglücklich
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ob das Ergebnis richtig sein kann, solltest du dir schon überlegen können!
Das kann nämlich nicht sein, da ich von einem 45m hohen Turm 23,9 km weit sehen kann. Nun wollen wir nur 22,5 km weit gucken, da sollte also gerne ein Ergebnis herauskommen, welches kleiner als 45 m ist, oder was meinst du dazu?

Zu deiner Rechnung:

Zitat:
(6370+x)² = 6370² + 23,9²


Wenn ich dir schon eine Ansatzgleichung liefere, wieso benutzt du diese nicht? unglücklich

Des Weiteren ist:



Anstatt die binomische Formel aufzulösen, solltest du auch eher die Wurzel ziehen.

Wieso du zum Schluss noch die 45 m addierst, ist mir völlig unbegreiflich. Die haben mit dieser Aufgabe überhaupt nichts mehr zu tun.
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(6370+x)² = 6370² + 23,9²


Ich rechne jetzt die oben stehende Gleichung nochmal aus .



(6370+x)² = 6370² + 23,9²

6370²+x² = 6370² + 23,9²

40576900 + x² = 40576900 + 571,21

40576900 + x² = 40577471,21 | - 40576900

x² = 571,21 | Wurzel

x = 23,9

Der Turm muss 23,9 Meter hoch sein




Das müsste ja stimmen, denn

Leuchtweite soll sein: 22.500 Meter
K2 = 23,9 Kilometer.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich rechne jetzt die oben stehende Gleichung nochmal aus .


Wieso das? Ich habe dir eben geschrieben, dass sie verkehrt ist.

Zitat:
(6370+x)² = 6370² + 23,9²

6370²+x² = 6370² + 23,9²


Dazu hatte ich geschrieben:

Zitat:
Des Weiteren ist:



Du musst meine Beiträge schon lesen!
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Zitat:
Ich rechne jetzt die oben stehende Gleichung nochmal aus .


Wieso das? Ich habe dir eben geschrieben, dass sie verkehrt ist.

Zitat:
(6370+x)² = 6370² + 23,9²

6370²+x² = 6370² + 23,9²


Dazu hatte ich geschrieben:

Zitat:
Des Weiteren ist:



Du musst meine Beiträge schon lesen!


Ich lese ja... das Verstehen ist dabei eine andere Sache...

Und ich verstehe garnichts mehr gerade. Wieso darf man das denn nicht so rechnen?

(a + b)² ist also NICHT a² + b²

Dann ist ja (6370+x)² einfach 6370+x, nachdem man ² durch eine Wurzel entfernt hat?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(a + b)² ist also NICHT a² + b²


Kennst du die binomischen Formeln nicht? verwirrt

Nach erster binomischer Formel ist:



Zitat:
Dann ist ja (6370+x)² einfach 6370+x, nachdem man ² durch eine Wurzel entfernt hat?


Ja.

Fehlt also nur noch die passende Gleichung. Dazu schrieb ich mal:

Zitat:
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »



(6370+x)² = 6370² + 23,9² | Wurzel ziehen

6370 +x = 6370 + 23,9 ||| Ausrechnen

6370 + x = 6393,9 | - 6370

x = 23,9

Jetzt bin ich schon wieder da böse Gott
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du nun genau den gleichen Fehler auf der rechten Seite machst. Da gilt, gilt auch .

Du bildest zunächst die Summe auf der rechten Seite und ziehst dann die Wurzel.

Langsam vergeht mir aber die Lust:

Zitat:


(6370+x)² = 6370² + 23,9² | Wurzel ziehen


Jetzt schreibst du die Gleichung schon richtig hin, um sie in der 2. Zeile wieder falsch anzugeben. unglücklich
Was du immer mit deinen 23,9 willst ist mir Rätsel. Das ist Ergebnis von Aufgabe a) und hat mit b) überhaupt nichts zu tun. Zudem ist dieses ein gerundeter Wert, damit wird überhaupt nicht weitergerechnet.
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt denn die 22,5 ?



(6370+x)² = 6370² + 22,5² | Wurzel ziehen

Wäre das so richtig
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Aus deinem Beitrag von 13.11 Uhr. Jetzt drehen wir uns also schon fast 90 Minuten im Kreise...
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Aus deinem Beitrag von 13.11 Uhr. Jetzt drehen wir uns also schon fast 90 Minuten im Kreise...


Dann lassen wir das jetzt einfach ..
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal nicht aufgeben - wo bleibt der Sportsgeist?!

Wir haben es doch fast geschafft.

Zitat:


Nun bilde mal auf der rechten Seite die Summe. Was erhältst du?
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Nun mal nicht aufgeben - wo bleibt der Sportsgeist?!

Wir haben es doch fast geschafft.

Zitat:


Nun bilde mal auf der rechten Seite die Summe. Was erhältst du?


Gleichung rechte Seite
40576900 + 506,25
ergibt addiert 40577406,25
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es! Freude

Deine Gleichung lautet nun also:



Nun die Wurzel ziehen und anschließend die 6370 auf die rechte Seite bringen. Was erhältst du?
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
So ist es! Freude

Deine Gleichung lautet nun also:



Nun die Wurzel ziehen und anschließend die 6370 auf die rechte Seite bringen. Was erhältst du?


Ziehen der Wurzel
(6370+x)² = 40577406,25 | Wurzel ziehen

Wurzel gezogen
(6370+x) = 6370,039973

Die 6370 auf die rechte Seite bringen? Ich kann doch nur subtrahieren, also 6370,039973 - 6370, oder?

Dann würde rechts stehen: 0,039973

Das dürfte aber falsch sein oder?

Wie wäre es dann richtig? Bzw. wie müsste man das machen den nächsten Schritt?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist (fast) richtig. Du hast vermutlich nur einen Schreibfehler. Es ist:



Bei dir ist also eine 9 zu viel.

Das Ergebnis wäre somit nach Subtraktion:



Wie hoch wäre der Turm nun also?
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Das ist (fast) richtig. Du hast vermutlich nur einen Schreibfehler. Es ist:



Bei dir ist also eine 9 zu viel.

Das Ergebnis wäre somit nach Subtraktion:



Wie hoch wäre der Turm nun also?


Ergebnis 0,0397 Kilometer

Also wäre der Turm dann 39,7 Meter hoch geschockt verwirrt
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Freude

Ist dir nun auch klar, wo die 22,5 km herkommen?
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

22.500 Meter geschockt geschockt geschockt geschockt

Also von den gesamtlängen von den Stadien da

Oder? ja ist doch so?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau.
Elgatos Auf diesen Beitrag antworten »

VIELEN DANK!! geschockt Freude
Ich habe es jetzt verstanden! smile smile

Das ist für Dich smile smile


Vergrößern bzw. drauf klicken um es besser darzustellen
[attach]38180[/attach]
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich sehr!

Gern geschehen.

Dir noch schöne (Rest)Pfingsten.

Wink
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