Verfahren von Runge, lokaler Fehler

25.05.2015, 12:42

Delta42

Verfahren von Runge, lokaler Fehler

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe eine dringende Frage. Es geht sich dabei darum den lokalen Fehler des Verfahren von Runge abzuschätzen. Das Verfahren von Runge ist ein Spezialfall der Runge-Kutta-Verfahren und wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+hf(t_i+(h/2),\eta_1) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \eta_1 \end{eqnarray*}$ eine Näherung von $\begin{eqnarray*} y(t_i+h\2) \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} \eta1=y_i+(h\2)f(t_i,y_i) \end{eqnarray*}$ . Der lokale Fehler soll dabei über die Taylorentwicklung berechnent werden mit $\begin{eqnarray*} y(t_{i+1}]= y_i+h(ft_i,y_i)+(h^2\2)(f_t(t_i,y_i)+f_y(t_i,y_i)f(t_i,y_i))+0(h^3) \end{eqnarray*}$ . Die Taylorentwicklung ist klar. Was mir jedoch nicht klar ist und dasfolgt im Buch direkt aus der Taylorentwicklung, dass $\begin{eqnarray*} ||y_{i+1}-y(t_{i+1})||_2=O(h^3) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Genau die obige Abschätzung bekomme ich nicht hin. Beim exliziten Euler-Verfahren sieht man z.B. direkt, dass die Taylorreihe bis p=1 exakt ist und danach nicht mehr, man den Rest also mit $\begin{eqnarray*} 0(h^2) \end{eqnarray*}$ abschätzen kann. Dies finde ich beim Verfahren von Runge jetzt nicht offentsichtlich.

kgV: Latex-Tags gesetzt. Damit der TeX-Code gerendert wird, muss er in folgende Tags

code:
1:	[latex]Formeln[/latex]

26.05.2015, 15:57

HAL 9000

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RE: Verfahren von Runge, lokaler Fehler
@Delta42

Überarbeite bitte nochmal die Formeln: Das mit dem häufig wiederkehrenden $\begin{align*} hfrm-e \end{align*}$ kommt mir äußerst seltsam vor, kann aber auch nicht zweifelsfrei rekonstruieren, was du da eigentlich meinst. unglücklich

26.05.2015, 17:10

Delta42

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Formeln
Hi,

erstmal super lieb, dass du dir mein Problem angeschaut hast. Die Formeln wurden automatisch umgewandelt. Ich versuche nochmal die ursprünglichen einzufügen. Zunächst einmal handelt mein Problem vom Verfahren von Runge. Dies ist ein Speizialfall der Runge-Kutta-Verfahren, für den ich den lokalen Fehler mittels Taylorentwicklung berechnen soll. Das Verfahren von Runge ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray*} [ y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}f(t_i,y_i)+\frac{h}{2}f(t_{i+1},\eta_2) \] mit \[ \eta_2=y_i+hf(t_i,y_i) \] \end{eqnarray*}$

So viel zur Definition. Für die Taylorentwicklung ergibt sich \begin{align*}
y(t_{i+1})&=y(t_i)+hy'(t_i)+\frac{h^2}{2}y''(t_i)+ O(h^3)\\
&=y_1+hf(t_i,y_i)+\frac{h^2}{2}(f_t(t_i,y_i)+f_y(t_i,y_i)f(t_i,y_i))+O(h^3)
\end{align*}
Bis hierhin alles gar kein Problem.

In meinem Lehrbuch steht nun, dass daraus folgt, dass |y_{i+1}-y(t_{i+1})\|_2=O(h^3), dass wir also einen lokalen Fehler dritter Ordnung haben. Genau diese Folgerung ist mir nicht klar. Ich habe schon versucht, die Taylorentwicklung für $\begin{eqnarray*} y(t_{i+1}) \end{eqnarray*}$ einzusetzen und entsprechen für $\begin{eqnarray*} y_{i+1} \end{eqnarray*}$ das Verfahrenvon Runge, doch irgendwie kommt da nichts Vernünftiges raus.

Ich hoffe, mein Problem ist so etwas verständlicher.

26.05.2015, 17:13

Delta42

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Versuch, die Definition noch einmal richtig einzufügen
[latex]y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}f(t_i,y_i)+\frac{h}{2}f(t_{i+1},\eta_2) mit \eta_2=y_i+hf(t_i,y_i)[/latex

Sorry, irgendwie habe ich Probleme mit den Formeln

26.05.2015, 17:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Delta42
Die Formeln wurden automatisch umgewandelt.

Ich würde es anders formulieren: Du hast die Formeln hier wer-weiß-woher reinkopiert und versäumt, per "Vorschau"-Button das Ergebnis dieses Kopiervorgangs insoweit zu kontrollieren, dass es wenigstens einigermaßen verständlich ist - was nun leider zu diesen unerfreulichen ewigen Rumdiskutieren führt. Was nun wirklich nicht sein müsste, bei ein wenig mehr Sorgfalt bei der Beitragserstellung unglücklich

Als "Anschub": Taylor-Entwicklung

$\begin{align*} y(t_{i+1}) & =y(t_i)+hy'(t_i)+\frac{h^2}{2}y''(t_i)+ O(h^3)\\ &=y_1+hf(t_i,y_i)+\frac{h^2}{2}(f_t(t_i,y_i)+f_y(t_i,y_i)f(t_i,y_i))+O(h^3) \end{align*}$

26.05.2015, 17:25

Delta42

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RE: Versuch, die Definition noch einmal richtig einzufügen
Das ist die Definition vom Verfahren von Runge:

$\begin{eqnarray*} y_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}f(t_i,y_i)+\frac{h}{2}f(t_{i+1},\eta_2) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \eta_2=y_i+hf(t_i,y_i) \end{eqnarray*}$

Das ist die Taylorentwicklung

$\begin{eqnarray*} y(t_{i+1})=y(t_i)+hy'(t_i)+\frac{h^2}{2}y''(t_i)+ O(h^3)=y_1+hf(t_i,y_i)+\frac{h^2}{2}(f_t(t_i,y_i)+f_y(t_i,y_i)f(t_i,y_i))+O(h^3) \end{eqnarray*}$

und schließlich die Folgerung für den lokalen Fehler, die ich nicht verstehe

$\begin{eqnarray*} |y_{i+1}-y(t_{i+1})\|_2=O(h^3) \end{eqnarray*}$

Ich freue mich über jeden guten Tipp, ich muss diese GLeichung nämlich dringend lösen, um sie in einem Vortrag zu präsentieren.

26.05.2015, 17:39

HAL 9000

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Die Taylorentwicklung der Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} (t_i,y_i) \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} f(t_i+h,y_i+hz) = f(t_i,y_i) + hf_t(t_i,y_i) + hzf_y(t_i,y_i) + O(h^2) \end{align*}$ ,

nun ist $\begin{align*} t_{i+1}=t_i+h \end{align*}$ und wir wählen $\begin{align*} z=f(t_i,y_i) \end{align*}$ . Dies in die Formel für $\begin{align*} y_{i+1} \end{align*}$ eingesetzt und dann die Differenz $\begin{align*} y_{i+1}-y(t_{i+1}) \end{align*}$ gebildet vereinfacht sich einiges...

In deiner Formel zu $\begin{align*} y(t_{i+1}) \end{align*}$ muss hinten statt $\begin{align*} y_1 \end{align*}$ übrigens ein $\begin{align*} y_i \end{align*}$ stehen - ich hatte es oben auch falsch von dir abgeschrieben, aber zu dem Zeitpunkt hatte ich mich noch nicht mit dem Inhalt, sondern nur dem LaTeX befasst.

P.S.: Wo ist hier eine Gleichung "zu lösen"? So wie ich es sehe, ist eine zu beweisen.

26.05.2015, 18:34

Delta42

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Vielleicht bin ich zu blöd, aber wie genau kommst du auf das z und wieso entwickelst du Taylor nur bis $\begin{eqnarray*} 0(h^2) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

26.05.2015, 18:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Delta42
wie genau kommst du auf das z

Weil dieses $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \eta_2=y_i+hf(t_i,y_i) \end{eqnarray*}$ passt.

Zitat:

Original von Delta42
und wieso entwickelst du Taylor nur bis $\begin{eqnarray*} 0(h^2) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Weil es genügt - schließlich steht da noch ein Vorfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{h}{2} \end{eqnarray*}$ , der das ganze dann zu $\begin{eqnarray*} O(h^3) \end{eqnarray*}$ macht.

26.05.2015, 18:52

Delta42

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Ich grübel gerade noch ein bisschen. Ganz klar ist mir das noch nicht mit dem Vorfaktor. Mein Lehrbuch gibt mir auch vor, ich soll die Taylorentwicklung weiter machen. Ich sehe leider auch noch nicht ganz, dass sich nach dem Einsetzten etwas vereinfachen lässt unglücklich

26.05.2015, 19:02

HAL 9000

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Herrje, ist denn das wirklich so schwer, jetzt das einzusetzen, nachdem ich alles haarklein vorbereitet habe?

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Taylorentwicklung der Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} (t_i,y_i) \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} f(t_i+h,y_i+hz) = f(t_i,y_i) + hf_t(t_i,y_i) + hzf_y(t_i,y_i) + O(h^2) \end{align*}$ ,

nun ist $\begin{align*} t_{i+1}=t_i+h \end{align*}$ und wir wählen $\begin{align*} z=f(t_i,y_i) \end{align*}$ .

Das bedeutet

$\begin{align*} f(t_{i+1},y_i+hf(t_i,y_i)) = f(t_i,y_i) + hf_t(t_i,y_i) + hf(t_i,y_i)f_y(t_i,y_i) + O(h^2) \end{align*}$ ,

und mit $\begin{align*} \eta_2=y_i+hf(t_i,y_i) \end{align*}$ geschrieben folglich

$\begin{align*} f(t_{i+1},\eta_2) = f(t_i,y_i) + hf_t(t_i,y_i) + hf(t_i,y_i)f_y(t_i,y_i) + O(h^2) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von HAL 9000
Dies in die Formel für $\begin{align*} y_{i+1} \end{align*}$ eingesetzt

$\begin{align*} y_{i+1} &= y_i+\frac{h}{2}f(t_i,y_i)+\frac{h}{2}f(t_{i+1},\eta_2) = y_i + \frac{h}{2} \left(f(t_i,y_i) + f(t_i,y_i) + hf_t(t_i,y_i) + hf(t_i,y_i)f_y(t_i,y_i) + O(h^2) \right)\\ &= y_i + hf(t_i,y_i) + \frac{h^2}{2} f_t(t_i,y_i) + \frac{h^2}{2} f(t_i,y_i)f_y(t_i,y_i) + O(h^3) \end{align*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
Dies in die Formel für $\begin{align*} y_{i+1} \end{align*}$ eingesetzt und dann die Differenz $\begin{align*} y_{i+1}-y(t_{i+1}) \end{align*}$ gebildet vereinfacht sich einiges...

Wenn ich dies jetzt auch noch für dich erledige, dann hätten die Moderatoren jedes Recht, mir den Beitrag zu kürzen.

26.05.2015, 19:15

Delta42

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Oh nein, ich sehe jetzt auch, wo mein Problem liegt. Ich habe versehentlich das Verfahren von Heun definiert, statt das Verfahren von Runge, so ein Mist. Das habe ich aber zum Glück soweit verstanden, deswegen versuche ich einfach mal, den Fehler vom Verfahren von Runge analog zu rechen. Also danke schonmal

26.05.2015, 19:33

HAL 9000

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Na dann vielen Dank für die sinnlose Beschäftigung. Forum Kloppe

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