[Maßtheorie] Wahrscheinlichkeitsmaß aus sigma-endlichem Maß konstruieren

25.05.2015, 16:19

Peter92

[Maßtheorie] Wahrscheinlichkeitsmaß aus sigma-endlichem Maß konstruieren

Hallo,

ich habe eine Frage zu Maßen/Wahrscheinlichkeitsmaßen. In einem Skript einer Wahrscheinlichkeitstheorie-VL heißt es: "... man kann aus einem bestehenden $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlichen Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal F) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)} \end{eqnarray*}$

konstruieren." ( $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ soll eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sein.)

Meine Frage ist, wie das mit obiger Konstruktion genau gehen soll. Es funktioniert natürlich, falls $\begin{eqnarray*} \mu(A),\mu(\Omega) \in [0,\infty[ \end{eqnarray*}$ , aber was ist, wenn $\begin{eqnarray*} \mu(\Omega) = \infty \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} \mu(A) = \infty \end{eqnarray*}$ ? Die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Endlichkeit von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ schließt den Fall $\begin{eqnarray*} \mu(A) = \infty, A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ nicht aus (oder etwa doch)?

26.05.2015, 10:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Peter92
"... man kann aus einem bestehenden $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlichen Maß $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal F) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch

$\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{\mu(A)}{\mu(\Omega)} \end{eqnarray*}$

konstruieren."

Diese Aussage ist in dieser allgemeinen Form schlicht falsch, und zwar aus genau den Gründen, die du in deinen Zweifeln angesprochen hast.

D.h., es geht schlicht nicht, ein unendliches (und sei es auch sigma-endliches) Maß linear zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß zu skalieren. Aus diesem Grund kann es ja auch keine stetige Gleichverteilung auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ bzw. einem anderen unendlich großen Intervall geben. unglücklich

Verzichtet man auf eine derartige Linearität $\begin{eqnarray*} P(A) = \lambda\cdot \mu(A) \end{eqnarray*}$ , dann ist natürlich einiges drin, aber das dürfte ohnehin klar sein.

Neue Frage »

Antworten »

[Maßtheorie] Wahrscheinlichkeitsmaß aus sigma-endlichem Maß konstruieren

Verwandte Themen