Differentialgleichung Aufladevorgang Kondensator

25.05.2015, 16:20	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Aufladevorgang Kondensator Problem: Ein mit einem Widerstand R verbundener Kondensator mit Kapazität C wird durch eine Ladespannung U0 aufgeladen. Uc(t) = Spannung am Kondensator zur Zeit t. Ic(t) = Stromstärke am Kondensator zur Zeit t. Finden sie eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung die Funktion Uc ist und berechne die Funktion U. Idee: $\begin{eqnarray} I = C \cdot U'_C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_R = R \cdot I = R \cdot C \cdot U'_C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U_R \cdot U_C = U_0 \end{eqnarray}$ Draus kann ich dann die Differentialgleichung aufstellen: $\begin{eqnarray} R \cdot C \cdot U'_C + U_C = U_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R \cdot C \cdot \frac{dU_C}{dt} + U_C = U_0 \end{eqnarray}$ Dann Lösen durch Trennung der Variablen: $\begin{eqnarray} \frac{RC}{U_0-U_C} dU_C = dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{RC}{U_0-U_C} dU_C = \int dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} RC \cdot -ln(U_0-U_C) = t+k \end{eqnarray}$ Dann bring ich den ln weg: $\begin{eqnarray} e^{RC} \cdot (U_C-U_0) = e^{t+k} = e^t k \end{eqnarray}$ Nach Uc umformen : $\begin{eqnarray} U_C = U_0 + e^{t-RC} \cdot k \end{eqnarray*}$ Das wäre dann meine Allg. Lösung nach Uc. Nun frag ich mich aber was gemeint ist mit "Finden sie eine Anfangswertaufgabe, deren Lösung die Funktion Uc ist und berechne die Funktion U.", oder is genau das damit gemeint was ich gemacht habe?
25.05.2015, 17:56	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung Aufladevorgang Kondensator Ja, es ist in etwa was du gemacht hast. Jetzt ist noch die frage was der anfangswert der spannung am kondensator ist und wie du das in deiner gleichung verwenden kannst. Im übrigen muss was mit $\begin{eqnarray} e^{- \frac{t}{RC}} \end{eqnarray}$ rauskommen, du hast dich leider verrechnet. in der 3 .ten gleichung von unten solltest Du durch $\begin{eqnarray} -RC \end{eqnarray}$ dividieren. LG
25.05.2015, 18:03	Chloe2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt danke, $\begin{eqnarray} U_C = U_0 + e^{-\frac{t}{RC}} \cdot k \end{eqnarray}$ Ok. Und ich weiß das Uc zum Zeitpunkt t = 0, 0V beträgt. also $\begin{eqnarray} 0V = U_0 + e^{-\frac{0}{RC}} \cdot k = U_0 + k \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} k = -U_0 \end{eqnarray}$ ??
25.05.2015, 19:41	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist es perfekt. Passt, beispiel perfekt gelöst würd ich sagen. LG

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