Orthogonales Komplement

25.05.2015, 19:12

nito13

Orthogonales Komplement

Meine Frage:
Also, hier im Anhang seht ihr meine Aufgabe.
Ich habe für die Aufgabe ein paar Ansätze, die ich unten hinschreibe, komme aber auch nicht so weit, weil ich bei ein paar Sachen nicht weiß wie man sich die genau vorstellen kann und wie man sie aufschreiben muss.

Meine Ideen:
Bei a) weiß ich was man machen muss und zwar einfach die Unterraumeigenschaften nachweisen.

Bei b) würde ich halt ersteinmal die Definition von $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray*}$ aufschreiben, wobei ich mich halt frage, was genau die Definition ist. Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ ... nimmt man jetzt wie bei $\begin{eqnarray*} (U^\perp) \end{eqnarray*}$ orthogonale Vektoren aus V..? Ja, oder? Also:
$\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp =\left\{ v'\in V| <v',v>=0 \forall v\in U^\perp \right\} \end{eqnarray*}$
Da frage ich mich dann aber wie ich weiter vorgehen kann und vor allem im Vergleich zur c) was jetzt dabei genau der Unterschied ist. Denn wie gibt es eigentlich einen unendlich dimensionalen Vektorraum? Wie stellt man sich den vor? Und wo findet man den entscheidenden Unterschied hier?

Und zur Aufgabe d) weiß ich nicht ob ich die gegebene Abbildung ganz verstehe. Werden die Vektoren von V auf ein Skalarprodukt abgebildet, das aus einem Vektor v und einem Vektor aus dem Urbildbereich ist? Wenn das so ist dann kommt mir diese Definition ziemlich logisch vor, weil ja nunmal f(u)=0 bei Orthogonalität sein muss. Aber ich frage mich wie man diesen Beweis genau aufschreiben muss.

25.05.2015, 19:29

Captain Kirk

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Hallo,

die Menge in der b) ist so richtig. Der Beweis ist auch nicht sonderlich schwer hinzuschreiben: Erfüllen die Elemente aus U die Bedingung?
c) Unendlich-dimensiaonale Vektorraume gibt es sehr viele, z.B. der Raum aller stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen, der Raum aller Folgen mit Werten im Körper oder die reellen zahlen als rationaler Vektorraum ....
Endlich-dimensionaler sind in der Handhabung deutlich angenehmer, da sie u.a. eine endliche Basis haben und der Dimensionssatz gilt.

d) $\begin{eqnarray*} v \mapsto <v,.> \end{eqnarray*}$ ist eine Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray*} v \mapsto (x \mapsto <v,x>) \end{eqnarray*}$ , die Vektoren werden also auf eine Abbildung abgebildet, der Dualraum enthält ja Abbildungen.

25.05.2015, 20:50

nito13

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Okay gut, wie man b) dann macht ist mir jetzt klar geworden, merci smile

Zu unendlich-dimensionalen Vektorräumen eine Frage, die haben ja unendlich viele Basen... Kann man diese irgendwie allgemeiner definieren? Als Beispiel jetzt den Vektorraum der stetigen Funktionen?
Und ich weiß immer noch nicht wie man bei c) vorgehen kann, was jetzt den Unterschied dabei macht ob der Vektorraum endlich oder unendlich dimensional ist.
Ich schreibe dir jetzt mal meine Gedanken zu b) und c) auf:
b) Wenn $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp , U^\perp \end{eqnarray*}$ so definiert sind wie ich das unten gesagt habe.
Sei $\begin{eqnarray*} x \in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} <v,x>=0 \end{eqnarray*}$ und aufgrund der Symmetrie des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} \Rightarrow <x,v>=0 \end{eqnarray*}$ was ja genau das ist, was für x gelten muss, wenn x zu $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray*}$ gehört.
Andersherum würde ich es genauso machen, aber ich finde den Haken nicht dafür, dass V nicht unendlich dimensional sein darf.
Und wie muss ich bei der d) vorgehen? Ich kann das nachvollziehen mit den Funktionen f aus V*, die Null ergeben müssen, damit v aus V orthogonal zu denen steht. Aber ich weiß nicht wie ich da was zeigen muss.

25.05.2015, 21:31

Captain Kirk

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Zitat:

Zu unendlich-dimensionalen Vektorräumen eine Frage, die haben ja unendlich viele Basen...

Sobald der Grundkörper unendlich ist hat jeder VR (außer 0) unendlich viele Basen. Geht es um die Mächtigkeit einer Basis?

Zitat:

Kann man diese irgendwie allgemeiner definieren?

Was genau willst du definieren? Basen sind für beliebige VR definiert.

Zitat:

[...]was für x gelten muss, wenn x zu $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp \end{eqnarray*}$ gehört.

der Beweis ist o.k.

Zitat:

Andersherum würde ich es genauso machen,

Und wie? Wie zeigst du denn z.B., dass aus <v,x>=0 für alle $\begin{eqnarray*} v \in U^\perp \end{eqnarray*}$ folgt, dass x in U ist?

Bei der d) könnte man z.B. schlicht beide Mengeninklusionen zeigen

25.05.2015, 22:46

nito13

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Ja also wenn <x,v>=0 $\begin{eqnarray*} \forall v\in U^\perp \end{eqnarray*}$ , dann dachte ich, dass das wieder aufgrund der Symmetrie das gleiche sei wie <x,u>=0 $\begin{eqnarray*} \forall v\in U \end{eqnarray*}$ .... und ups, an der Stelle komme ich dann nicht weiter, weil x ja aus V ist und nicht aus U....... also mit welcher Folgerung komme ich weiter? :/
Und mein Ansatz für die Mengeninklusion bei d) wäre so: $\begin{eqnarray*} x\in U^\perp \Rightarrow x\in \left\{x\in V | <x,u>=0 \forall u\in U \right\} \Rightarrow f(x)\in \left\{ f(x)\in V^{*} | f(x)=0 \forall x\in U\right\} \end{eqnarray*}$ und in die andere Richtung würde ich es wieder genauso machen... Aber das kann ich ja gleich aufschreiben, weil sonst braucht dieser Beitrag noch so lange und ich will ja umso schneller eine Antwort von dir kriegen.... Sag mir bitte, ob da was falsch ist alleine in dieser einen Richtung oder ob mein Ansatz komplett falsch ist oder woran ich nicht gedacht habe.... Danke!!

25.05.2015, 23:07

Captain Kirk

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Zitat:

also mit welcher Folgerung komme ich weiter? :/

Du musst halt jetzt die Endlich-Dimensionalität ausnutzen, z.B. indem du zeigst dass die beiden Unterräume gleiche Dimension haben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)\in \left\{ f(x)\in V^{*} | f(x)=0 \forall x\in U\right\} \end{eqnarray*}$

Du meinst f. f ist die Abbildung, f(x) ist ein Vektor. Aber: was soll f hier überhaupt sein?

Und das ist kein Beweis, mit viel gutem Willen hast du die Behauptung ungenau hingeschrieben.

Mach doch erstmal klar was du da überhaupt zeigen willst.

27.05.2015, 11:55

nito13

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Okay, für Aufgabe c) habe ich es jetzt verstanden.
Aber wie mache ich das denn bei d)? Ich muss doch immer davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} f\in \gamma (U^\perp ) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ und dann die Folgerungen daraus ziehen..... und dann in die aandere Richtung...

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