Holomorphie zeigen

25.05.2015, 17:22

Kequazo

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Holomorphie zeigen

Meine Frage:
Hi ich soll bei ein paar Funktionen zeigen, dass sie Holomorph sind

Funktion ist zb : $\begin{eqnarray*} f(z)=z^{3}cos(z^{2}) \end{eqnarray*}$

da eine Komposition holomorpher Funktionen auch wieder holomorph ist, debke ich mir dass ich für jeden einzelne Funktion: $\begin{eqnarray*} z^{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} cos(z) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} z^{2} \end{eqnarray*}$ zeigen kann dass sie holomporh sind.

Das würde ich über den Diff'quotienten machen, allerdings hab ich da Problem zu zeigen dass der cos() holomorph ist mittels Diff#quotienten? hat da wer vllt ne Idee??

Meine Ideen:

25.05.2015, 17:30

Guppi12

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Hallo,

nutze $\begin{eqnarray*} \cos(z) = \frac{1}{2}(\exp(iz)+\exp(-iz)) \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du zeigen, dass die Exponentialfunktion holomorph ist, was wohl einfacher ist.

25.05.2015, 17:59

Kequazo

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{cos(z+h)-cos(z)}{h} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2}e^{iz+ih}+\frac{1}{2} e^{-iz-ih} -\frac{1}{2}e^{iz} -\frac{1}{2} e^{iz} }{h} \end{eqnarray*}$

da kommt dann 0/0 raus, iwo muss doch da ein Fehler sein oder?

25.05.2015, 18:02

Guppi12

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Das war auch anders gemeint. Wenn $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ holomorph ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ holomorph, weil du dann $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ als Verknüpfung und Summe holomorpher Funktionen schreiben kannst.

Es reicht also, die Holomorphie von $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Zitat:

da kommt dann 0/0 raus, iwo muss doch da ein Fehler sein oder?

Das ist doch bei Differentialquotienten immer so.. Man muss dann so vereinfachen, dass man es auflösen kann.

25.05.2015, 18:12

Kequazo

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achso, wir haben im skript jedoch nirgends angenommen das exp holomorph ist.. also dachte ich müsste ich irgendwo einmal einen anfang amchen, und wirklich zeigen das es holomorph ist und auf dem dann alles bassieren lassen

25.05.2015, 18:14

Guppi12

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Ja genau, du sollst ja jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ holomorph ist. Das ist eben dann einfacher, als die Holomorphie von $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ .

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25.05.2015, 18:50

Kequazo

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also einfach
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{z+h}-e^{z} }{h} =\lim_{h \to 0}\frac{e^{z}*e^{h} -e^{z} }{h} =\lim_{h \to 0}\frac{e^{z}-e^{z} }{h} =0 \end{eqnarray*}$

25.05.2015, 18:51

Guppi12

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Warum ist das $\begin{eqnarray*} e^h \end{eqnarray*}$ auf einmal weg?

25.05.2015, 18:52

Kequazo

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wird doch zu *1 für h gegen 0 oder nicht

25.05.2015, 18:54

Guppi12

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Du kannst aber nicht den Grenzwert an einer Stelle auswerten und an einer anderen Stelle nicht. Man möchte fast meinen, du hättest noch nie einen Grenzwert bestimmt verwirrt

verwirrt

Vergleiche mit $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{h}{h} \end{eqnarray*}$ , da kannst du doch auch nicht einfach im Zähler $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ersetzen und dann folgern, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$ übrig bleibt.

Klammere $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ aus.

25.05.2015, 19:34

Kequazo

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ne is nur ewig her und mir is mein fehler nach meiner antwort gleich selber aufgefallen.

wenn ichs ausklammere wüsste ich nicht wie ich weiter machen soll. Falls l'Hospital im kompexen gilt würde ich das hier versuchen anzuwenden

25.05.2015, 19:39

Guppi12

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Für L'Hospital brauchst du doch die Differenzierbarkeit bereits verwirrt

verwirrt

Den Grenzwert, der nach dem Ausklammern von $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ übrig bleibt, kannst du berechnen, indem du für $\begin{eqnarray*} e^h \end{eqnarray*}$ die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion einsetzt.

25.05.2015, 19:41

Kequazo

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genau das war mein problem, das ich die differenzzierbar keit benutze die ich beweisen will eigentlich

25.05.2015, 19:53

Guppi12

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Ja, deswegen solltest du ja L'Hospital auch nicht benutzen.

Hast du es hinbekommen mit der Reihenentwicklung?

25.05.2015, 20:19

Kequazo

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sieht die im kompelxen genauso aus wie im reelen?

25.05.2015, 20:22

Guppi12

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Ja. Allerdings muss ich, wenn du das nicht weißt, nachfragen, wie ihr den Cosinus überhaupt definiert habt im Komplexen. Für gewöhnlich tut man das ja gerade über die Exponentialfunktion. Nur muss man dann natürlich auch die irgendwie definieren. Wie habt ihr das denn gemacht, wenn nicht über ihre Reihendarstellung?

25.05.2015, 20:27

Kequazo

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ich sollte dann sowas wie
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{z}\sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{h^{n} }{n!} }{h} =\lim_{h \to 0} e^{z} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{h^{n-1} }{n!} \end{eqnarray*}$

erhalten, jedenfalls erhalte ich das

25.05.2015, 20:31

Guppi12

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Ja, das ist richtig. Jetzt musst du bloß wissen, dass Potenzreihen innerhalb ihres Konvergenzradius stetig sind, das heißt du kannst den Limes in die Reihe reinziehen.

25.05.2015, 21:01

Kequazo

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hmm dann geht der zähler gegen 1, und daraus dann die summe oder?

25.05.2015, 21:09

Guppi12

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Der zähler geht aber nur für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ (da hast du übrigens den Index durcheinander gebracht). Für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ kommt nämlich was heraus?

25.05.2015, 21:11

Kequazo

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ja keine ahnung, das ist grad mein Problem gegen was das konvergiert

25.05.2015, 21:14

Guppi12

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Mal speziell für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ steht da z.B. einfach nur $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ im Zähler. Du musst doch wissen, was $\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}h \end{eqnarray*}$ ist. Für $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ steht dort $\begin{eqnarray*} h^2 \end{eqnarray*}$ , etc. Siehst du es?

25.05.2015, 21:17

Kequazo

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achso, ja dannis die summe für alle n>2 =0

25.05.2015, 21:20

Guppi12

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Nicht, die Summe. Der Witz ist doch gerade, dass wir den Limes in die Summe hineinziehen konnten. Dabei wird jeder einzelne Summand zu $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ außer dem $\begin{eqnarray*} 1. \end{eqnarray*}$ . Insbesondere existiert dieser Grenzwert aber überhaupt. (Du hast auch gleich noch den Wert mit bestimmt, nämlich $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ .)

25.05.2015, 21:29

Kequazo

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ich sagte ja auch für n>2, die summe insgesamt ist dann =1

25.05.2015, 21:33

Guppi12

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So stimmts.

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