Globale Extrempunkte bestimmen |
| 25.05.2015, 19:44 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Globale Extrempunkte bestimmen Kann mir hier mal eben jemand weiterhelfen: Bestimmen Sie die globalen Extrempunkte der Funktion: f(x,y)= x³ + y³ - 9xy + 27 auf der Menge M= {(x,y) | und } Meine Ideen: dazu habe ich bisher nur: fx(x,y) = 3x²-9y nach 0 setzen : x=0 ; x= fy(x,y) = 3y²-9x nach 0 setzen : y=0 ; y= |
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| 25.05.2015, 19:52 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen Du hast ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Eine Lösung ist in der Tat (x/y) = (0/0) Für ALLE Lösungen kannst du zum Beispiel das Einsetzungsverfahren anwenden |
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| 25.05.2015, 20:54 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen sieht dann aus wie folgt: 3y² - 9* = 0 ... 27y - y^4 = 0 27y = y^4 /:y 27 = y³ / dritte Wurzel 3 = y und demnach auch 3 = x stimmt das so und wie fahre ich falls es stimmt nun fort? |
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| 25.05.2015, 21:08 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen in der Herleitung ist einiges nicht ganz exakt aber der zweite Lösungspunkt (3/3) stimmt jetzt hast du die MÖGLICHEN lokalen Extrempunkte jetzt müsstet ihr Kriterien haben, um zu überprüfen, ob ein Extrempunkt vorliegt und wenn ja, welcher Art der EP ist ? (hat etwas mit den zweiten Ableitungen zu tun!) |
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| 25.05.2015, 21:18 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen immerhin 
In der Formelsammlung finde ich nur Kriterien für LOKALE Extremalstellen ohne Nebenbedingung - in einem ähnlichen Beispiel wurden einfach die Punkte eingesetzt in die Ausgangsfunktion, sprich: 0³ + 0³ - 9*0*0 + 27 = 27 3³ + 3³ - 9*3*3 + 27 = 0 und der größere Wert wurde als Kriterium Maximum, der kleinere als Minimum genommen, somit: ( 0,0 ) -> globales Maximum ( 3,3 ) -> globales Minimum Ist dieser Lösungsweg legitim und stimmt das so ? |
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| 25.05.2015, 21:25 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen nein du musst die zweiten partiellen Ableitungen bilden und die Punkte in den Term einsetzen Wenn der Wert des Terms größer 0 ist, hast du einen lokalen Extrempunkt |
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| 25.05.2015, 21:27 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen wenn ich die Kriterien für LOKALE extremalstellen nutze bekomme ich als ergebnis: ( 0,0 ) -> Sattelpunkt ( 3,3 ) -> Minimum falls das stimmen sollte kann man die Kriterien wohl für beides nutzen ( hier nutze ich die ableitungen fxx, fyy und fxy ) fxx(x,y) = 6x fyy(x,y) = 6y fxy(x,y) = -9 6x * 6y - 9² = - 27 -> Sattelpunkt 6x * 6y - 9² = 243 -> Minimum , da fxx, fyy > 0 |
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| 25.05.2015, 21:37 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen jetzt musst du den Funktionswert im Minimum und die größten und kleinsten Funktionswerte auf den Randlinien bestimmen, weil die GLOBALEN EW auch dort liegen können |
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| 25.05.2015, 21:45 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen Funktionswert Minimum: 3³ + 3³ - 9*3*3 + 27 = 0 Wie mache ich das mit den Randlinien ? x und y sind ja von 0 bis 4 definiert, also wäre ja ein Quadrat von den "Randlinien und Achsen" umschlossen und die größten/kleinsten werte wären 0 und 4 oder liege ich da falsch? |
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| 25.05.2015, 21:48 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen du liegst richtig kann im Moment aber nicht weitermachen, vielleicht später |
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| 25.05.2015, 21:52 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen okay gut, naja viel kann ja nicht mehr fehlen, danke schonmal bis hier hin für die hilfe, antworte einfach wenn du wieder zeit hast 
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| 25.05.2015, 21:58 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen ganz schnell noch, damit du weitermachen kannst: auf jeder der 4 Randlinien kannst du x=0, x=4, y=0 oder y=4 in die Funktionsgleichung einsetzen. dann erhältst du vier Funktionen mit jeweils einer Variablen und kannst die maximalen Randwerte bestimmen Dann fehlt nur noch der Vergleich untereinander bzgl. des Maximums. Da es nur Ein lokales Minimum (und kein L. M.) gibt, ist das automatisch das GLOBALE Minimum |
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| 26.05.2015, 16:01 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: globale Extrempunkte bestimmen sorry habe dann gestern aus gemacht hatte ja heute uni; Randlinien: 0³ + y³ - 9*0*y +27 -> nach y aufgelöst y=3 0³ + x³ - 9*0*x +27 -> nach x aufgelöst x=3 4³ + y³ - 9*4*y +27 = (y²-7y+13)*(y+7) -> nach y aufgelöst ( polynomdivision ) y= -7 4³ + x³ - 9*4*x +27 = (x²-7x+13)*(x+7) -> nach x aufgelöst ( polynomdivision ) x= -7 sind meine maximalen randwerte nun 3 und -7 ? |
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| 27.05.2015, 15:36 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder muss ich die aufgelöste Variable dann nochmal einsetzen, dann bekomme ich die Randwerte 54 und 0 ? Ich gehe mal davon aus, dass das so ist aber dann folgt: wert im lokalen minimum = 0 ---> globales minimum --> auf diesen punkt führen mich ja auch die randlinien mit x=0 und y=0 ? die randlinien mit den werten x=4 und y=4 sind deshalb kein globales maximum da es kein lokales maximum gibt oder weshalb? denn ich habe ja den Randwert 54 ? |
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| 27.05.2015, 16:11 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
fasse die vier vorn stehenden Terme in 16:01 Uhr mal zusammen |
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| 27.05.2015, 16:54 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann sieht das wie folgt aus: y³ + 27 x³ + 27 y³ - 36y + 91 x³ - 36x + 91 |
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| 27.05.2015, 16:56 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
richtig von den Termen brauchen wir dann die maximalen Werte Grenzen für die Variablen beachten! |
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| 27.05.2015, 17:06 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
y³ + 27 -> maximaler wert mit y=4 = 91 x³ + 27 -> maximaler wert mit x=4 = 91 y³ - 36y + 91 -> maximaler wert mit y=0 = 91 x³ - 36x + 91 -> maximaler wert mit x=0 = 91 also so? |
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| 27.05.2015, 17:13 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die ersten zwei Ergenisse sind richtig, die nächsten terme sind schwieriger! da liegen die Maxima jeweils möglicherweise zwischen 0 und 4 (für x und y) Du musst die Maxima mit der Ableitung bestimmen |
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| 27.05.2015, 17:24 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mh verstehe ich nicht ganz, egal was ich für y einsetze für zahlen zwischen 0 und 4, das ergebnis ist immer kleiner als 91 und das hätte ich ja mit y=0 ? |
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| 27.05.2015, 17:33 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ist zufällig richtig, aber da du nicht alle Zahlen (Brüche!) müsstest du das Maximum mit der Ableitung bestimmen! |
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| 27.05.2015, 17:37 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah okay, könnte man das mit den brüchen dann nicht durch systematisches ausprobieren hinkriegen bei so nem kleinen intervall? maximum dann mittes 3y² - 36 bestimmen? |
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| 27.05.2015, 17:38 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du jetzt noch die anfangs eingesetzten Grenzen x und y dazunimmst, hast du zwei gleichwertige globale Maximumpunkte mit dem Maximalwert 91 |
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| 27.05.2015, 17:43 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay ja dann passt das so ; aber ist das Ergebnis der Aufgabe nicht trotzdem nur das globale Minimum bei (3,3) ? denn wenn auf meiner angegebenen Menge kein lokales Maximum vorlag kann doch nun auch kein globales vorliegen ? |
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| 27.05.2015, 17:43 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist mit der Differentialrechnung für eine Variable viel genauer und einfacher ein Randmaximum, dass mit der Differentialrechnung gar nicht rauskommt, schon. Die Dinger ergeben sich ja durch willkürliche Einschränkungen des Definitionsbereich IR x IR |
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| 27.05.2015, 18:13 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mh okay, ich verstehe jetzt trotzdem noch nicht ganz was nun meine eigentliche lösung der aufgabe ist obwohl sie gelöst ist? |
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| 27.05.2015, 18:15 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Punkte (x/y), die wir als Extrempunkte gefunden haben. |
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| 27.05.2015, 18:18 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also (3,3) globales Minimum (0,0) globales Maximum (4,4) globales maximum ? |
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| 27.05.2015, 18:22 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo sollen (0/0) und 4/4 herkommen ? Wenn du x=0 bzw. y=0 eingesetzt hast, ergab sich doch die andere Koordinate am Maximalpunkt jeweils 4 und umgekehrt. es handelt sich z.B.bei (3/3) genaugenommen um eine Minimumstelle (Extrempunkt) Wird oft etwas ungenau als Minimum bezeichnet. Das Minimum ist eigentlich der zugehörige Funktionswert. |
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| 27.05.2015, 18:32 | Dominik1234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh ja, habe gerade gesehn, dass ich mich vertan habe: (0,4) , (4,0) sind die g. Ma. und (3,3) das g. Mi. Danke für deine Hilfe
und deine Geduld ^^ |
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| 27.05.2015, 18:34 | wopi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay 
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