Exponentialgleichung mit x

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Aths Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialgleichung mit x
Ich habe 4 Gleichungen und würde mich freuen, wenn ihr mir sagen könntet, ob die Ansätze richtig sind bzw. mir sonst keinen anderen Ansatz geben könntet.



Hier würde ich zuerst alles außer 2e^x auf die rechte Seite bringen, anschließend den Logarithmus ziehen und dann käme als Ergebnis x= ln(1,5)/1,5









Hier habe ich keinen Ansatz. Wie kann ich mit dem rechten x umgehen?







Könnte ich hier x ausklammern und dann die abc-Formel verwenden?








Könnte ich auch hier x ausklammern und dann die abc-Formel anwenden?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alle 4 Gleichungen sind mit "normalen" Mitteln nicht vollständig auflösbar - da müssen numerische Näherungsverfahren her.

P.S.: Allenfalls bei Nr. 3 kann man eine reelle Lösung sofort benennen, die anderen drei jedoch nicht. Augenzwinkern
 
 
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Welches Verfahren würdest du empfehlen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal solltest du feststellen, wieviel Lösungen diese Gleichungen jeweils haben, also auch schon mal die Intervalle eingrenzen, in denen sich dann jeweils nur noch eine Lösung befindet. Robust wäre dann die Anwendung des Intervallhalbierungsverfahren oder (etwas besser) Sekantenverfahren. Nahe genug an der Lösung startend bringt natürlich das Newton-Verfahren den schnellsten Genauigkeitsgewinn pro Schritt.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zunächst mal solltest du feststellen, wieviel Lösungen diese Gleichungen jeweils haben, also auch schon mal die Intervalle eingrenzen, in denen sich dann jeweils nur noch eine Lösung befindet. Robust wäre dann die Anwendung des Intervallhalbierungsverfahren oder (etwas besser) Sekantenverfahren. Nahe genug an der Lösung startend bringt natürlich das Newton-Verfahren den schnellsten Genauigkeitsgewinn pro Schritt.


Das hatten wir bisher noch nicht. Geht auch das Ausklammern oder der Satz vom Nullprodukt? Die Gleichungen haben jeweils 2 Lösungen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Äpfel und Birnen
Zitat:
Original von Aths
Geht auch das Ausklammern oder der Satz vom Nullprodukt?

Erstaunt1

Wir reden über (praktische) numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung - NICHT über allgemeine (theoretische) Prinzipien derselben. unglücklich


Du bist also gedanklich noch auf dem völlig falschen Dampfer.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äpfel und Birnen
Danke, das ist ein guter Hinweis. Könntest du mir den Ansatz zu einem solchen Verfahren geben?

EDIT: Komplettzitat entfernt; die tragen nun wirklich nichts zur Lesbarkeit bei. (klarsoweit)
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte mir jemand einen Ansatz zu einem solchen Verfahren geben?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Newtonverfahren ist nicht schwer. Nehmen wir mal die erste Gleichung, . Du suchst also die Nullstelle(n) von . Für das Verfahren brauchst Du noch die erste Ableitung davon, das ist

Nun nimmst Du einen Startwert und bildest daraus über die Formel den nächsten Wert . Den steckst Du wieder in die Formel, bekommst und so weiter. Wenn der Startwert richtig gewählt wurde, konvergieren diese Werte recht schnell gegen die gesuchte Lösung.

Falls Du hier noch Fragen hast, stell sie einfach.

Viele Grüße
Steffen
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Leider hatten wir das Thema Ableitungen noch nicht. Was passiert bei der Ableitung mit dem x und mit den "+2"?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AthsLeider hatten wir das Thema Ableitungen noch nicht.


Oh, wenn Ihr das noch nicht hattet, sollten wir lieber über andere Verfahren reden. Eine Schnelleinführung in die Analysis würde doch den Rahmen dieses Threads sprengen. Freu Dich lieber auf die höheren Schuljahre. smile

Am einfachsten ist es natürlich grafisch. Du schaust Dir einfach die Funktion an:



Dann zoomst Du in eine der Nullstellen rein:



Also knapp bei 0,6. Und nochmal:



Wir sind nun etwa bei 0,58. Und so weiter, bis Dir die Genauigkeit ausreicht.

Dann hat HAL ja schon das Halbierungsverfahren genannt. Auch da musst Du ungefähr wissen, wo Du suchen willst. Die Nullstelle zwischen 0 und 1 bedeutet ja einen Vorzeichenwechsel. Also berechnest Du f(0) und f(1). Die haben ja verschiedene Vorzeichen.

Dann halbierst Du das Intervall in zwei gleiche Teile, also bei 0,5. Nun berechnest Du f(0,5). Das hat dasselbe Vorzeichen wie f(0), dazwischen kann die Nullstelle also nicht sein. Also muss sie zwischen 0,5 und 1 sein. Nun halbierst Du hier bei 0,75 und machst genauso weiter.

Viele Grüße
Steffen
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön, dass sind sehr gute Ansätze. Wir hatten bisher die Möglichkeit Auszuklammern und den Satz vom Nullprodukt. Kann man den dort auch anwenden?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aus der Exponentialfunktion kannst Du x nicht ausklammern. Wie ja schon gesagt, hier funktionieren nur Näherungsverfahren.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Nein, aus der Exponentialfunktion kannst Du x nicht ausklammern. Wie ja schon gesagt, hier funktionieren nur Näherungsverfahren.


Ist der Satz vom Nullprodukt eins davon?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aths
Zitat:
Original von Steffen Bühler
Näherungsverfahren.

Ist der Satz vom Nullprodukt eins davon?


Nein, ein Satz ist ja kein Verfahren. Mit dem Satz vom Nullprodukt kannst Du eine Nullstelle, zum Beispiel x=0 bei f(x)=x²+x=x*(x+1), nicht näherungsweise, sondern exakt bestimmen.

Näherungsverfahren dagegen nähern sich der Nullstelle nur an, Du erhältst in der Regel keinen exakten Wert.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Solche Näherungsverfahren haben wir noch nicht behandelt, welches sind da die bekanntesten?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Seufz.

Ich zitiere mal aus diesem Thread:

Zitat:
Original von HAL 9000
Robust wäre dann die Anwendung des Intervallhalbierungsverfahren oder (etwas besser) Sekantenverfahren. Nahe genug an der Lösung startend bringt natürlich das Newton-Verfahren den schnellsten Genauigkeitsgewinn pro Schritt.


Zitat:
Original von Steffen Bühler
Am einfachsten ist es natürlich grafisch.


Sicherheitshalber hab ich's noch fett hervorgehoben, damit Du's besser siehst.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Unnötiges Vollzitat gelöscht. Steffen

Sorry, aber davon habe ich noch nichts gehört.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das hast Du ja schon gesagt, und das ist ja auch nicht schlimm. Deswegen haben wir Dir ja hier gezeigt, was es gibt und wie man's macht.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Grafisch könnte ich es, aber mit den Näherungsverfahren nicht.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Grafisch ist doch schon was, Du sollst ja nur die Nullstellen finden. Die Art und Weise ist nicht gefordert.

Das Halbierungsverfahren ist aber doch auch nicht weiter schwer, oder?
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Ich soll es rechnerisch bestimmen. Leider kann ich das Halbierungsverfahren noch nicht.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Deswegen hatte ich Dir's ja erklärt. Nimm ein Intervall, innerhalb dessen die Funktionswerte das Vorzeichen ändern. Dann halbiere es und nimm von den beiden Hälften wieder das Intervall, in dem sich das Vorzeichen ändert. Und so weiter, bis Du zufrieden bist.

Das ist im Grunde wie das grafische Zoomen, nur eben mit definierten Grenzen für den jeweils nächsten Zoom.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du das zum Verständnis bei den ersten beiden Aufgaben bitte machen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In die konkrete Vermittlung des numerischen Verfahrens möchte ich mich nicht einmischen, die ist bei Steffen in guten Händen. Augenzwinkern

--------------------------------------------

Damit es nicht in Vergessenheit gerät, möchte ich nur nochmal auf die "Vorarbeit" hinweisen, die auch für eine vollständige Untersuchung notwendig ist.

Zitat:
Original von HAL 9000
Zunächst mal solltest du feststellen, wieviel Lösungen diese Gleichungen jeweils haben, also auch schon mal die Intervalle eingrenzen, in denen sich dann jeweils nur noch eine Lösung befindet.

Denn z.B. das nun angesprochene Halbierungsverfahren macht es zwingend erforderlich, dass die besagte Funktion in dem Intervall nicht nur stetig ist, sondern dass sich dort auch nur eine Nullstelle befindet. Denn bei unterschiedlichen Funktionswerten an den Intervallenden könnten z.B. im Intervall auch drei Nullstellen statt nur einer vorliegen, das Intervall-Halbierungsverfahren findet dann nur eine der drei. Augenzwinkern


Nehmen wir gleich mal das "happigste" Beispiel 3), d.h. suchen dort die Nullstellen der Funktion .

Diese Funktion hat genau vier reelle Nullstellen, eine davon sieht man wegen sofort.


Zu den anderen drei: Es ist

,

also haben wir aufgrund dieser Vorzeichenwechsel mindestens je eine Nullstelle in den Intervallen , und . Hier kannst du dann jeweils das Intervall-Halbierungsverfahren anwenden (zu dem ich jetzt nicht spreche).


Dass es insgesamt nicht mehr als vier Nullstellen sein können (und damit jeweils genau eine in den genannten Intervallen), kann man mit dem Satz von Rolle (Speziallfall des MWS) per indirektem Beweis begründen:

Angenommen, es wären mindestens fünf Nullstellen. Nach Satz von Rolle hat dann in den Intervallen zwischen den Nullstellen von insgesamt mindestens vier Nullstellen. Mit der gleichen Argumentation muss dann mindestens drei und mindestens zwei Nullstellen haben.

Nun ist aber





und dieses hat nur die eine reelle Nullstelle , Widerspruch.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Könntest du das zum Verständnis bei den ersten beiden Aufgaben bitte machen?


Mit Rechnen hab ich's nicht so, aber ich zeig Dir mal, wie man bei im Prinzip auf die rechte Nullstelle kommt. Die liegt ja zwischen Null und Eins, wie erwähnt. Denn es ist





Nun halbieren wir das Intervall und schauen uns die Mitte an:



Siehst Du das? Die Funktion ist bei 0 und bei 0,5 kleiner Null, bei 1 größer Null, also liegt die Nullstelle zwangläufig zwischen 0,5 und 1.

Also halbieren wir jetzt dieses Intervall. Die Mitte liegt bei 0,75:



Aha! Hier ist es schon positiv, also untersuchen wir nun das Intervall von 0,5 bis 0,75.

Und so weiter, das schaffst Du alleine, oder?
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das hilft mir weiter. Aber du hast doch schon 0,5 und 0,75 eingesetzt, was muss ich dann einsetzen um das zu kriegen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, um die Mitte eines Intervalls zu berechnen? Das ist einfach der Mittelwert, deswegen heißt der ja so.

Die Mitte zwischen 0 und 1 ist .

Die Mitte zwischen 0,5 und 1 ist .
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Du meinst, um die Mitte eines Intervalls zu berechnen? Das ist einfach der Mittelwert, deswegen heißt der ja so.

Die Mitte zwischen 0 und 1 ist .

Die Mitte zwischen 0,5 und 1 ist .


Dankeschön für die Antwort. Also muss ich nun 0,625 einsetzen?

Dann habe ich als Ergebnis -0,75.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aths
Dankeschön für die Antwort. Also muss ich nun 0,625 einsetzen?


Ganz genau! Prima.
Zitat:
Original von Aths
Dann habe ich als Ergebnis -0,75.


Ich nicht. Prüf das noch mal.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

2e^0,625 ist 2,88, oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme 3,736...

Edit: Du hast anscheinend (2e)^0,625 gerechnet. Es geht aber um 2*(e^0,625).

Potenz- vor Punktrechnumg!
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Gilt das bei e-Funktionen immer wenn eine Zahl davor steht?

Das Ergebnis wäre dann 0,111.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AthsGilt das bei e-Funktionen immer wenn eine Zahl davor steht?


Ja, wie gesagt. Egal, welche Basis, erst wird potenziert, dann multipliziert.

Zitat:
Original von AthsDas Ergebnis wäre dann 0,111.


Richtig. Also auch positiv. Nun auf ins Intervall 0,5...0,625.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.

Das wäre dann 0,5625 und das Ergebnis wäre -0,05

Was bedeutet das, wenn die Zahl negafv wird? Und warum werden die Zahlen immer zwischen 0,5 und x untersucht und nicht zwischen einer anderen Zahl und x?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig gerechnet. Wir nähern uns der Nullstelle immer mehr an.

Am Graphen siehst Du, dass die Funktion bei dieser Nullstelle steigt, links davon ist sie also negativ, rechts positiv.

Deswegen müssen wir schauen, dass die linke Intervallgrenze immer einen negativen Funktionswert ergibt, die rechte einen positiven.

Das ist nun der Fall: die Intervallmitte 0,5625 ergibt einen negativen Wert, daher wird das jetzt unsere neue linke Intervallgrenze! Das beantwortet dann auch Deine letzte Frage: nun tauchen wir ins Intervall von 0,5625 bis 0,625.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Also 0,59375.

Das Ergebnis ist 0,041

Warum ist jetzt der erste Wert des Intervalls 0,5625 anstatt 0,5?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast Du es nicht gelesen, aber ich schrieb vorhin:

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Am Graphen siehst Du, dass die Funktion bei dieser Nullstelle steigt, links davon ist sie also negativ, rechts positiv.

Deswegen müssen wir schauen, dass die linke Intervallgrenze immer einen negativen Funktionswert ergibt, die rechte einen positiven.


Sicherheitshalber habe ich den entscheidenden Teil wieder fett hervorgehoben.
Aths Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Also muss ich, um die Art der Rechnung zu machen zuerst das Schaubild der Funktion betrachten?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

In der Tat. Anders geht es leider nicht, das hat ja Hal auch schon geschrieben.
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