Weglänge

26.05.2015, 14:58	LemanRuss	Auf diesen Beitrag antworten »
Weglänge Hi, wir betrachten die folgenden zwei unendlichen Wege: $\begin{eqnarray} \alpha : [0, \infty) -> \mathbb R ^{2} , \alpha (t) = t(cos(t), sin (t)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta : (0, \infty) -> \mathbb R ^{2} , \beta (t) = \frac{1}{t} (cos(t), sin (t)) \end{eqnarray}$ . Seien a und b zwei reelle Zahlen mit $\begin{eqnarray} 0 < a < b < \infty \end{eqnarray}$ . a) Berechnen Sie die Länge $\begin{eqnarray} L(\alpha \| [a, b]) \end{eqnarray}$ des Teilweges $\begin{eqnarray} \alpha \| [a, b] \end{eqnarray}$ . b) Berechnen Sie die Länge $\begin{eqnarray} L(\beta \| [a, b]) \end{eqnarray}$ des Teilweges $\begin{eqnarray} \beta \| [a, b] \end{eqnarray}$ . c) Untersuchen Sie, ob der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{b \to \infty} L(\beta \| [1, b]) \end{eqnarray}$ existiert. Zu a): $\begin{eqnarray} \alpha (t) = t(cos(t), sin (t)) = (tcos(t), tsin(t)) => \alpha '(t) = (cos(t)-tsin(t), sin(t) + tcos(t)) \end{eqnarray}$ . Jetzt das Integral der euklidischen Norm der Ableitung bestimmen und hier wird es etwas nervig $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \|\|\alpha '(t)\|\|_{2} \, dt = \int_{a}^{b} \! \|\|(cos(t)-tsin(t), sin(t) + tcos(t))\|\|_{2} \, dt = \int_{a}^{b} \! \sqrt{((cos(t)-tsin(t))^{2} + (sin(t) + tcos(t))^{2}} \, dt <br /> = \int_{a}^{b} \! \sqrt{cos^{2}(t)+t^{2}sin^{2}(t) + sin^{2}(t) + t^{2}cos^{2}(t)} \, dt = \int_{a}^{b} \! \sqrt{cos^{2}(t)(1+t^{2}) + sin^{2}(t)(1+t^{2})} \, dt = \int_{a}^{b} \! \sqrt{(1+t^{2})(cos^{2}(t)+sin^{2}(t))} \, dt \end{eqnarray}$ Ich habe es mit Substitution versucht, aber ich komme nicht weiter
26.05.2015, 16:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weglänge Hast du schon mal die Gleichung $\begin{eqnarray} cos^{2}(t) + sin^{2}(t) = 1 \end{eqnarray}$ gesehen ?

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