Polardarstellung

26.05.2015, 16:58

Jefferson1992

Polardarstellung

Hallo,

folgendes:

Zeigen Sie, dass alle komplexen Zahlen von Betrag 1 und ungleich -1 als_

$\begin{eqnarray*} \frac {1+ix}{1-ix} \end{eqnarray*}$ geschrieben werden können.

b) Stellen Sie konkret die Zahlen 1 und +i und -i in dieser Form dar.

Lösung:

Naja, ich habe mir erstmal überlegt, dass Betrag 1 ja bedeutet das die Wurzel aus dem Realteil und dem Imaginärteil =1 sein soll.

Aber ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

26.05.2015, 19:06

Leopold

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RE: Polardarstellung

Zitat:

Original von Jefferson1992
Naja, ich habe mir erstmal überlegt, dass Betrag 1 ja bedeutet das die Wurzel aus dem Realteil und dem Imaginärteil =1 sein soll.

Unsinn! Dieser Satz ist schon in sich nicht verständlich.
Betrag 1 heißt, daß die Zahl auf dem Einheitskreis liegt. Ich schätze auch, daß $\begin{align*} x \end{align*}$ als reell vorausgesetzt ist, sonst würde die Aufgabe keinen Sinn ergeben.

Probieren wir es doch einmal mit $\begin{align*} -1 \end{align*}$ . Diese Zahl liegt auf dem Einheitskreis.

$\begin{align*} \frac{1 + \operatorname{i}x}{1 - \operatorname{i}x} = -1 \ \ \Leftrightarrow \ \ 1 = -1 \ \ \text{Widerspruch!} \end{align*}$

Damit kann $\begin{align*} -1 \end{align*}$ nicht wie gewünscht dargestellt werden. Und genau so steht es ja auch in der Aufgabe. Mit allen anderen Zahlen auf dem Einheitskreis sollte es jedoch funktionieren.

Ich würde zunächst zeigen, daß $\begin{align*} \gamma(x) = \frac{1 + \operatorname{i}x}{1 - \operatorname{i}x} \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ auf dem Einheitskreis liegt. Dazu mußt du nur $\begin{align*} \left| \gamma(x) \right| \end{align*}$ berechnen.

Dann mußt du eine beliebige Zahl $\begin{align*} \omega \neq -1 \end{align*}$ auf dem Einheitskreis wählen (es gilt also $\begin{align*} \left| \omega \right| = 1 \end{align*}$ ) und zeigen, daß $\begin{align*} \gamma(x) = \omega \end{align*}$ für ein reelles $\begin{align*} x \end{align*}$ möglich ist. Löse die Gleichung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auf. Das sollte der einfachere Teil sein. Und zeige dann, daß $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ gilt. Das dürfte ein bißchen kniffliger werden.

Tip: Berechne mit dem gefundenen $\begin{align*} x \end{align*}$ den Imaginärteil von $\begin{align*} x \end{align*}$ , also $\begin{align*} \frac{1}{2 \operatorname{i}} \left( x - \overline{x} \right) \end{align*}$ . Folgende Regeln sind nützlich:

1. Die komplexe Konjugation ist mit den Grundrechenarten verträglich, auf $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ die Identität und auf $\begin{align*} \operatorname{i} \mathbb{R} \end{align*}$ der Übergang zum Negativen.

2. Für Zahlen $\begin{align*} \omega \end{align*}$ auf dem Einheitskreis gilt: $\begin{align*} \omega \cdot \overline{\omega} = 1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} \overline{\omega} = \frac{1}{\omega} \end{align*}$

Die Regel 2. hilft dir, dich von den Querstrichen zu befreien.

Dann los!

30.05.2015, 16:58

Jefferson1992

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RE: Polardarstellung
werde mich demnächst mal da dran setzen smile

Und dann können wir das weiter besprechen.
Habe nur momentan mit anderen Dingen zu kämpfen Big Laugh

Danke trotzdem smile

)

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